Часть 6.

А. К.: Не знаю, пригодны ли в самом деле мои замечания к проблеме запоминания.

Ж.-П. Ш.: Речь идет не просто о запоминании. Речь идет о способе накопления информации в нервной системе. Проблема кодировки ментальных репрезентаций - вот топологическая проблема.

А. К.: Да, но я пришел к топологии совсем по другой причине. Мы говорили о существовании большого разнообразия, но также и о некоторой инвариантности в способе формирования мозга у различных индивидов. Рамки топологии идеальны для понимания такого рода явления, поскольку один и тот же топологический объект может иметь множество разных представлений. Он может состоять из множества различных симплициальных комплексов, сохраняя неизменность своих топологических свойств. Таким образом, симплициальная топология является идеальным средством кодировки, например, понятия формы, если мы, разумеется, не будем слишком углубляться в количественные аспекты ее геометрии. В качестве очень простого примера можно взять инвариант, который не изменяется при замене симплициального комплекса, например, размерности 2, другим, описывающим все тот же топологический объект. Здесь необходимо пояснить, что такое характеристика Эйлера-Пуанкаре. Это число равно количеству вер-

142

шин с вычетом количества ребер и добавлением количества треугольников. Не сложно убедиться в том, что операция барицентрического подразделения, о которой я только что говорил, сопровождающаяся добавлением одной вершины, трех ребер и двух треугольников, к изменению определенной выше характеристики не приводит. Попробуем вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре для двумерной сферы. Имеем четыре вершины, четыре треугольника и шесть ребер - следовательно, искомая характе-ристика равна 2. Впрочем, несложно представить себе электри-ческую систему, позволяющую вычислять это число в зависимо-сти от данного симплициального комплекса. В топологии извест-но несколько существенно более сложных преобразований, чем барицентрическое подразделение. Эти преобразования изменяют топологический объект, т. е. в результате получаем объект, не го-меоморфный исходному, - впрочем, его так называемый «тип гомотопии» остается прежним. Существенный инвариант топологического пространства с точностью до гомотопии называется «фундаментальной группой» этого пространства. В случае сферы он вполне тривиален, т. е. сводится к одному элементу, однако пере-стает быть таковым в случае симплициальных комплексов размерности хотя бы 2 (как, например, тот, что определен на рис. 29). То-пология есть исследование топологических пространств, с точно-стью до гомотопии или гомеоморфии. Мне представляется вполне вероятным, что возможность строить топологические структуры (элементарные или, напротив, чрезвычайно богатые по форме) мозг получает, благодаря комбинаторике симплициальных ком-плексов. Точнее говоря, его топология показывает, что мозг спосо-бен тщательно разрабатывать комбинаторику того или иного сим-плициального комплекса. Жаль упускать возможность использо-вать прогресс в топологии для разработки, например, машин для запоминания информации, ограничившись одними лишь деревьями (т.е. симплициальными комплексами размерности 1), фундаментальная группа которых тривиальна. Определение фундаментальной группы несложно для понимания: выбрав однажды начальную точку, которая послужит точкой отсчета, т. е. вершиной, мы рассматриваем все траектории, которыми можно пройти вдоль всех ребер «сети», возвратившись в результате в точку отсчета. Траектории мы составляем, соединяя концы соответствующих ре-бер. Единственная тонкость: необходимо понять, что две траекто-рии могут определять один и тот же элемент фундаментальной

143

группы. Для объяснения я мог бы перейти на уровень комбинаторики, но этот путь слишком труден. С тем же успехом я могу привести геометрическую картинку. Несмотря на то, что симпли-циальный комплекс представляет собой комбинаторный объект, он имеет и так называемую «геометрическую реализацию». Вершина симплициального комплекса помещается в пространство достаточно большой размерности, вершины, являющиеся крайними точками одного ребра, соединяются настоящим отрезком, три точки в вершинах треугольника образуют вместе с соединяющими их отрезками настоящий треугольник и т.д. Описанная фигура представляет собой пример геометрической реализации симплициального комплекса размерности 2 (см. рис. 29). В общем случае изобразить его достаточно сложно, так как симплициальный комплекс неизбежно попадает в пространство большей размерности. Вот почему невозможно непосредственно визуализировать его геометрически. Следовательно, мы вынуждены заменить здесь геометрию комбинаторикой. Однако на таком представлении - по крайней мере, в случае малых размерностей - можно легко объяснить, почему две траектории могут определять один и тот же элемент фундаментальной группы. Или, что равнозначно, каким образом траектория определяет ту или иную сущность как элемент фундаментальной группы. Это происходит, когда траекторию можно деформировать без разрыва так, что она становится тривиальной (см. рис. 30). С помощью этой конструкции можно уже получить все хоть сколько-нибудь интересные группы, начиная с симплициального комплекса размерности 2. Отсюда и происходит невероятное богатство комбинаторики, даже в случае сим-плициальных комплексов размерности 2. Удивительно то, что мозг потенциально скрывает в себе мириады возможностей для реализации этой комбинаторики и применения богатств топологии. Например, сосчитать количество отверстий в поверхности есть не что иное, как вычислить для этой поверхности характеристику Эйлера - Пуанкаре.

Ж.-H.LLL: Можно ли, исходя из этого, сконструировать машину? Это и в самом деле стало бы лучшим доказательством...

А. К.: Сосчитать количество отверстий в поверхности, т.е. характеристику Эйлера-Пуанкаре, очень просто. Чтобы извлечь инвариант, машина должна будет сосчитать количество вершин. Ей нужно будет вычесть число ребер и прибавить число треугольников. Все это не представляет абсолютно никакой слож-

144

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

я

?1 - (А, В, С, D, E, F, (7, Я, /)

ЛЯ, ЯС, CD, /Ж EF, FG, AC, BE, CF, DF, EH, FI, ?2 = (AD, BF, CH, DG. EI, GH, AE, BG, CI, DH, HI, GI, AG, BH, AI)

?3 - (AEB, AED, DEH, DGH, BGH, AB G, ACD, CDF, DFG, FIG, AIC, AIG, BCF, BEF, BGH, CHI, EIF, EIH)

Симплициальный комплекс

Геометрическая реализация

Рис. 29

ности. Вполне хватило бы самой обыкновенной электрической системы.

Ж.-П. Ш.: Мозг не функционирует таким образом. Не считает.

А. К.: А электрическая система считает. Представь систему, в которой вершины обладают равными и положительными электрическими зарядами. Каждое ребро заряжено отрицательно. Каждый треугольник добавляет к общей сумме один положительный заряд. Если в момент включения системы определить ее общий заряд, то мы получим топологический инвариант.

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ

145

Рис. 30. Петля АС В представляет собой нетривиальный элемент фундаментальной группы симплициального комплекса, изображенного на рис. 29. Петля AED есть тривиальный элемент, поскольку она, как показано на рисунке (шаги 1, 2 и 3), поддается деформации.

Ж.-П.Ш.: Думаю, нужно все это реализовать.

А. К.: Естественно. И это вполне возможно. К тому же, ничто не мешает этому явлению оказаться не только электрическим, но и химическим.

Ж.-П.Ш.: Разумеется. Электрическое явление показалось мне привлекательнее, поскольку его легче измерить. Измерять выделение химических медиаторов гораздо сложнее, но это также можно реализовать - по крайней мере, опосредованно. Однако нам еще не скоро удастся сделать это. В случае центральной нервной системы сложность состоит еще и в установлении соответствия между малыми совокупностями нейронов и более глобальной, равно как и более неуловимой, размерностью. Впрочем, это возможно - например, в случае с распознаванием лица на уровне височной коры.

А. К.: Можно было бы предположить, например, что распознавание форм, не превышающих топологию размерности 2, производится системой, состоящей лишь из точек (нейронов), ребер и треугольников. Иначе говоря, системой, в которой нет необходимости возбуждать коррелированно совокупности, состоящие более чем из трех нейронов. Впрочем, все это, очевидно, является чистой спекуляцией.

Ж.-П.Ш.: Вовсе нет. Это простое предсказание, которое можно представить на рассмотрение физиологам! Измерение корреляции активности среди нейронов выполняется уже во многих лабораториях [44]. Мы обсудили вопрос об инвариантах и репрезентациях. Перейдем теперь ко второму вопросу: организации долго-

146

временной памяти, часто представляемой в виде деревьев... Если учесть твое, основанное на этой новой топологии, понимание феномена репрезентации, то что ты можешь сказать о доступе к долговременной памяти и об ее организации? И каким образом человек оказывается способен рассуждать по аналогии? Учитывая опять же, что рассуждение по аналогии можно очень просто свести к установлению соответствий между двумя разными деревьями.

3. Организация долговременной памяти

А. К.: Я знаю, что в рамках того, что касается проблем запоминания, распространена модель деревьев, о которой я только что говорил. Здесь не избежать объяснения одного понятия более общего порядка, более тонкого, нежели понятие дерева: я говорю о гиперболическом симплициальном комплексе, или о комплексе с отрицательной кривизной. У меня нет четкой идеи, как именно можно применить это понятие к процессам запоминания. Ясно одно: понятие дерева слишком ограниченно, слишком жестко, а в случае необходимости исправить ошибку оно предписывает двигаться задним ходом, в точности следуя проделанному пути. Понятие гиперболического симплициального комплекса является гораздо более гибким и не теряет при этом свойств деревьев, каковые свойства используются при моделировании запоминания. Понятие дерева одномерно и организует информацию в памяти линейно, тогда как гиперболические симплициальные комплексы делают это более тонким образом.

Что такое гиперболический симплициальный комплекс? Это свойство можно определить чисто комбинаторным путем - сказать, например, что для того, чтобы симплициальный комплекс с размерностью 2 был гиперболическим, достаточно, чтобы каждая вершина треугольника была общей, по меньшей мере, для семи различных треугольников. Но мы гораздо лучше поймем значение этого понятия, если обратимся к геометрии и геодезии. Для этого нам следует, прежде всего, вернуться к неевклидовым геометриям. В модели Пуанкаре - отображении внутренней части круга на плоскость - геодезические линии представляют собой перпендикулярные к краю круга дуги окружности. Возьмем такую геодезическую линию (см. рис. 31) и точку Р, не лежащую на этой линии.

3. ОРГАНИЗАЦИЯ ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ПАМЯТИ 147

Можно легко построить бесконечное множество других геодезических линий, которые проходят через P и не пересекают первую линию. В такой геометрии прямые представляют собой геодезические линии, не подчиняющиеся аксиоме Евклида. Угол между двумя геодезическими линиями в описанной модели - это угол между соответствующими окружностями. Можно легко убедиться, что сумма углов треугольника здесь всегда меньше 180° - это свойство характерно для пространств отрицательной кривизны. Можно так же уточнить, как в этой геометрии Пуанкаре измеряется расстояние между двумя точками. Самый короткий путь между двумя точками А и В - это геодезическая линия (т.е. дуга окружности), пересекающая обод круга в двух точках и перпендикулярная ему в этих точках. У этой геометрии есть свойство, сближающее ее с деревом и совершенно не характерное для евклидовой геометрии. Этим свойством как раз и является гиперболичность. Есть простой способ его сформулировать. Пусть ВС - отрезок, а. А - точка вне этого отрезка; при перемещении от А к В потери окажутся невелики (во всяком случае, не более раз и навсегда заданной величины) по сравнению с оптимальным перемещением, обеспечиваемым геодезической линией, только в том случае, если сначала двинуться кратчайшим путем (по геодезической) от точки А до отрезка ВС, а затем переместиться вдоль отрезка ВС (см. рис. 32). Это свойство, по-видимому, истинно для деревьев, ложно для евклидова пространства, и опять истинно для гиперболического пространства Пуанкаре. Более того, и я настаиваю на этом, оно будет истинным и для универсального покрытия очень многих симплициальных комплексов - как раз тех, что являются гиперболическими симплициальными комплексами. Вернемся к организации памяти. Если мы строим модель, в которой объекты памяти локализуются в гиперболическом пространстве, то, согласно описанному свойству, для перемещения сознательного внимания А к объекту памяти X, расположенному внутри конечной выпуклой области P данного гиперболического пространства нет необходимости знать заранее точное расположение объекта X в P - даже если область P относительно велика. Достаточно сначала добраться по кратчайшей к границе области Р, а затем, достигнув ее, направиться к объекту X. Гиперболическое пространство в полной мере обладает свойством необходимой взаимосвязанности - так же, как и деревья, - не являясь при этом одномерной структурой со всеми вытекающими отсюда неудобствами.

148

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Гиперболический треугольник

Геодезическая линия

Рис. 31. Гиперболическая геометрия. В рамках этой геометрии точками являются точки круга, а прямыми - дуги окружности, перпендикулярные ободу круга. Через точку Р, не принадлежащую прямой AB, проходит несколько прямых, «параллельных» прямой AB (т.е. не пересекающих ее).

Ж.-П, Ш.: Да, но между пониманием и применением... Недостаточно располагать общей формальной теоретической моделью. Необходимо каким-то образом добиться того, чтобы эти предположения можно было реализовать в лабораторных экспериментах.

А. К.: Вообще-то американский математик У. Терстон уже несколько лет исследует возможности гиперболической геометрии в области разработки более совершенных компьютеров.

4. РАССУЖДЕНИЕ по АНАЛОГИИ 4. Рассуждение по аналогии

149

А. К.: Впрочем, дело не в этом. Я еще не закончил отвечать на твой вопрос. Ты хотел знать мое мнение о рассуждении по аналогии.

Ж.-П. Ш.: Да. Рассуждение по аналогии будет здесь очень кстати.

А. К.: У меня сложилось впечатление, что рассуждение по аналогии включает в себя два этапа. Первый, опознание аналогии - по всей видимости, наиболее сложный для понимания этап, приближающийся, пожалуй, к распознаванию образов. Второй этап

\l/f9

Рис. 32. Дерево и геодезическая линия. Сплошная линия - геодезическая от точки С к точке В', пунктирная линия - геодезическая от А к В.

150 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

составной - репликация-перевод-доработка. Первый его шаг заключается в том, чтобы ухитриться выполнить репликацию конфигурации нейронов, или, говоря на языке математики, симпли-циального комплекса, подчиняющегося некоторой функции. Предположим, что мы разработали для этой цели некую аналоговую систему нейронов, тогда вторым шагом («перевод» в моей терминологии) будет «подключение» реплицированной системы посредством замены ассоциированных слов из первой системы их переводом, опираясь на ее аналогичность второй системе нейронов. Третья фаза (вступающая после завершения перевода) состоит в проверке функционирования новой системы нейронов с целью улучшения ее структуры. Способен ли мозг осуществить такую репликацию?

Ж.-П.Ш.: Не забывай, что наши два полушария связаны между собой. Возможно, что некоторые репрезентации присутствуют одновременно в обоих полушариях, а перенос происходит от одного полушария к другому...

А. К.: А значит, можно с той или иной целью создать репрезентацию и передать ее в другое полушарие.

Ж.-П. Ш.: От полушария к полушарию передаются весьма значительные объемы информации, однако трудно сказать, связана ли эта передача с рассуждением по аналогии. Оба полушария, как ты знаешь, не являются абсолютно симметричными. Можно представить, что производимая одним полушарием репрезентация как-то изменяется (усиливается или смягчается) в другом. Понимание отношений между правым и левым полушариями представляет собой очень важную задачу. У низших млекопитающих, не владеющих речью, эти отношения выражены очень слабо - у них отсутствует даже латерализация функций мозга. Она, очевидно, появляется с развитием речи, и позволяет, помимо прочего, использовать оба полушария независимо друг от друга. И обеспечивать таким образом «взрывное» увеличение полезной площади поверхности коры, причем без избыточности. Незначительные генетические изменения, создающие лишь легкую асимметрию, привели в итоге, в результате процесса эпигенеза, к очень быстрому устранению избыточности и к взаимному использованию способностей обоих полушарий. Возможно, именно такова природа «человеческого феномена», суть которого заключается в том, что из модификации малого количества генов и увеличения объема мозга (не такого уж и значительного) развивается эффективность нового порядка.

151

5. Последовательность репрезентаций и рамки мышления

Ж.-П.Ш.: Не вернуться ли нам к исходной идее: дарвинизм в математике, построение последовательности рассуждений и «вызревание» математических объектов в противопоставлении их друг другу вплоть до наступления озарения в рамках определенной задачи. Для простоты будем различать два вопроса. Первый: построение временной последовательности ментальных репрезентаций дает «высказывание» в опровержимой форме, возможно, «истинное». Второй: определение так называемых «рамок мышления» или «интенции», на которых основывается математическое размышление и даже творчество. Как определить интенцию в математике ?

А. К.: В теории вероятности имеется одно очень важное и вполне применимое к данному случаю понятие - я говорю об «обусловленности». .Для того, чтобы определить интенцию - например, намерение выиграть партию в шахматы, - мне представляется необходимым отождествить эту интенцию с функцией оценки, с помощью которой можно оценить, насколько далеки мы в данный момент от поставленной цели. Сначала, впрочем, следует понять, как именно мозг строит эту самую функцию оценки. К этому мы еще вернемся. А пока допустим, что такая функция оценки у нас уже есть, и будем использовать ее для задания условий для систем, как это делается в теории вероятности. Я предложил бы такой образ, вполне согласующийся с дарвинизмом, о котором ты говоришь: взяв в качестве аналогии механизмы внутренней эволюции, предположим, что мозг уже выработал тысячи этих совокупностей нейронов или нейронных симплициальных комплексов и теперь задействует их, обусловливая функцией оценки. Каждая система дает какой-то результат, и нужно, чтобы мозг мог отобрать из этих результатов тот, который оптимизирует функцию оценки. Я думаю, что физики с их принципом стационарной фазы наткнулись на очень хорошую идею, позволяющую если и не решить эту задачу, то хотя бы подсказать интересный возможный механизм для интересующего нас процесса. Предположим, что каждая из нейронных систем производит электрический ток, фаза которого пропорциональна значению функции оценки в этой системе. В тех системах, где эта функция не достигает максимума, существование сосед-

152 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

них (больших или меньших) значений функции в других системах приводит к тому, что сумма произведенных токов обращается в нуль. В тех же системах, где функция оценки максимальна, обращения суммы токов в нуль не происходит. Именно эти системы и вносят существенный вклад в результирующий ток. Такой тип систем не является экономичным; можно представить себе значительно более простые системы, в которых функция оценки определена раз и навсегда - как, например, в шахматных компьютерах. Впрочем, этот недостаток ничуть не мешает таким системам демонстрировать весьма значительную гибкость, которой регулярно пользуются физики с тех пор, как у них появился интеграл Фейнмана.

Ж.-П.Ш.: То есть у нас практически есть механизм отбора.

А. К.: Да, но, к сожалению, воспользоваться им мы сможем только после того, как построим функцию оценки. Как это сделать? Признаться, не имею ни малейшего понятия, даже самого смутного.

Ж.-П.Ш.: Тем не менее, необходимо что-то делать.

А. К.: Мне думается лишь, что эта функция должна быть связана с лимбической системой или с другими структурами в мозге, она не может быть исключительно внутренней.

Ж.-П.Ш.: А говорил, что понятия не имеешь. Вот и предположение: возможно, существует некий цикл...

А. К.: Думаю, должна существовать какая-то корреляция между собственно оценкой и ощущением фрустрации или удовлетворения, испытываемыми в тот момент, когда математик близок к решению задачи. Но я не знаю точно, как эту корреляцию определить. Каким образом в механизм деструктивных или конструктивных взаимовлияний можно встроить ту или иную конкретную цель - цель активной, существующей в данный момент мысли?

Ж.-П. Ш.: Можно предположить, что в момент достижения цели. ..

А. К.: Можно, но это не совсем удовлетворительно, поскольку, согласно теории, вероятность все-таки изначально обусловлена поставленной целью, еще* до проявления феномена деструктивных или конструктивных взаимовлияний.

Ж.-П.Ш.: Наконец-то. Вычисления таки осуществляются в каких-то рамках! Это очень важно. Ты, как и я, не способен отличить логическое рассуждение от...

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕПРЕЗЕНТАЦИЙ и РАМКИ МЫШЛЕНИЯ 153

А. К.: Я говорю не о творчестве, я пока остаюсь на втором уровне.

Ж.-П. III.: Даже на втором уровне цель играет свою роль - цель фиксирована, ее даже можно рассматривать как некую внутреннюю «одержимость». Это означает, что длительное состояние активности нейронов...

А. К.: ... должно вызвать фрустрацию или чувство стеснения.

Ж.-П. Ш.: Постой. Можно также предположить, что сеть, замкнутая сама на себя, вводит в действие лимбическую систему, поскольку имеется желание. Мозг производит гипотезу удовольствия, выступающую в роли проводника. И открывает доступ к решению, являющемуся или не являющемуся источником удовольствия.

А. К.: Или наоборот, так как случаются и разочарования. У математиков это весьма частое явление. Когда что-то не ладится, на первое место выходит уже не желание, а чувство неудовлетворенности.

Ж.-П.Ш.: Из-за опасения не достичь цели. Лимбическая система поддерживает «активной» некую репрезентацию, которая создает контекст, куда, в свою очередь, включаются другие ментальные репрезентации, входящие в конечном счете в резонанс с поставленной целью. При этом мы испытываем удовлетворение, ощущение завершения исходной репрезентации. Это всего лишь метафора, однако опираясь на похожее предположение, мы со Станисласом Деэном [19] построили недавно модель обучения «правилам», которая вроде бы функционирует.

А. К.: Согласен, но твой образ не предусматривает явно возможности измерять близость цели. Пока цель не достигнута, необходимо, чтобы образ оставался активен и чтобы можно было определить близость цели. Еще до того, как мы ее достигнем. Это главное условие возникновения обусловленности. Я вполне допускаю возможность узнавания момента достижения цели. Гораздо сложнее, как мне кажется, ввести «расстояние до цели», т.е. возможность обусловить весь процесс...

Ж.-П.Ш.: Может быть, прогресс в реализации интенции постепенно, с накоплением опыта, модифицирует эту самую интенцию.

А. К.: Мы затрагиваем здесь очень важный в математической практике момент. Часто в процессе решения задачи возникают ситуации, когда оценка расстояния до цели облегчает собственно

154 ДАРВИН и МАТЕМАТИКИ

решение. Такая вот грубая интуитивная оценка расстояния, которое еще предстоит пройти, помогает решить задачу, даже если рассматриваемые при этом вопросы могут показаться весьма странными.

6. Естественный отбор среди математических объектов

Ж.-П. Ш.: Хочешь ли ты сказать что-нибудь еще о дарвинизме в математике?

А. К.: Я считаю, что дарвинизм функционирования мозга опирается на механизмы конструктивных резонансных взаимовлияний групп, а не на феномен естественного отбора или вытеснения.

Ж.-П.Ш.: Я думаю, что это тоже форма естественного отбора. Только «естественный отбор» понимается здесь в точном смысле, в соответствии с тем, что нам известно о структуре и развитии мозга. Это понятие, даже в динамике популяций, уточнить непросто. Оно определяется в терминах популяций, воспроизводящихся в соответствии с определенным географическим распределением. Традиционный дарвинизм в применении к эволюции видов использует понятия временной динамики, популяции и географического распределения. К нервной системе компонент размножения не применим. Нейроны не размножаются. Имеет смысл лишь дифференциальная и «состязательная» оккупация территорий. Твоя формулировка в точности согласуется с этим смыслом. Механизмы конструктивных и резонансных взаимовлияний групп могут рассматриваться как присущие мозгу механизмы отбора.

Перейдем к третьему уровню. Что есть интенция, с твоей точки зрения?

А. К.: Фундаментальным характерным признаком этого уровня является то, что в момент озарения, помимо ощущаемого удовольствия, возникает неожиданное впечатление мгновенного всеобщего прояснения. Сознательная часть мышления получает прямой доступ к миру, потерявшему для нее всякую странность. Больше нет необходимости тщательно все проверять. И несомненно, что это ощущение характерно именно для третьего уровня, который возбуждает лимбическую систему.

Ж.-П.Ш.: Твои слова напомнили мне о мистическом экстазе святой Терезы Авильской.

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 155

А. К.: Мистический экстаз, естественно, должен возбуждать те же области мозга. Но по другим причинам. Равно как и эстетическая гармония.

Ж.-П. III.: Здесь мы затрагиваем вопрос, который меня очень волнует - вопрос отношений между наукой и искусством. Какова разница между математическим объектом и произведением искусства?

А. К.: Вполне возможно, что художники, поэты или музыканты могут, используя собственные ресурсы, выражать какие-то экспериментально полученные данные, свидетельствующие о гармонии, которую эти люди испытали, возможно, один-единственный раз в жизни в момент озарения. Более того, произведение искусства (например, музыкальная пьеса) и математический объект возбуждают лимбическую систему практически одинаково. Однако вернемся к озарению и математике - так как единственным в нашем распоряжении способом передачи результата является логическая цепочка рассуждений, нам необходимо быстро вернуться с третьего уровня на первый. Необходимо приступать к пошаговой проверке доказательства, полученного благодаря озарению. Иначе говоря, состояние возбуждения крайне кратковременно. Разложив доказательство на последовательность действий, мы можем в дальнейшем проверить их все, одно за другим. Но та чисто «мистическая», в каком-то смысле, фаза исчезла. Ее больше нет.

Ж.-П.Ш.: И где здесь дарвинизм?

А. К.: Думаю, на первом из трех этапов, о которых говорит Адамар, т. е. на этапе подготовки, когда определяется функция оценки, которая и должна, в принципе, обусловить дарвинизм.

Ж.-П. Ш.: Дарвинизм в эволюции приводит от амебы к человеку. В этом его выгода. Самое же интересное его применение к математике состоит в «сотворении» нового математического объекта посредством комбинаторики отдельных элементов, являющихся частью уже установившейся математики. Иначе говоря, порождение «монстра», «химеры». Пусть полученный объект и нов, но он отобран случайно, в силу своего резонанса с уже существующим контекстом.

А. К.: Этот объект очень просто предсказать.

Ж.-П.Ш.: В качестве подтверждения напомню еще, что, по твоим же словам, решение задачи в рамках творческого акта начинается с ее «расширения». А что значит расширять? Это значит вводить в область действия кратковременной памяти математи-

156 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

ческие объекты, лишенные прямой связи с поставленной целью. Вмешательство посторонних объектов, «аутсайдеров», порождает новый математический объект. Оно позволяет сломать рамки, в которых до этого находился математик, и открывает ему доступ к новому уровню познания. Таким образом, этот новый уровень является результатом некой комбинаторной деятельности в период созревания, иногда очень длительной. Похоже, что дарвинизм в математике особенно адекватно объясняет «творчество». Теперь твой ход. Какие условия отбора дают озарение? Является ли оно интеграцией всего того, что уже существовало ранее?

А. К.: Я не знаю, можем ли мы по-прежнему полагать образ конструктивного взаимовлияния таким, каким я его принял ранее. Когда приходит озарение, оно касается не только исследуемого объекта во всей его новизне, но также и его взаимосвязанности с теми объектами, что мозг уже понял и хорошо знает.

Ж.-П. IIL: А как же различия? Мы ведь имеем дело не с неизвестной прежде структурой. Следовательно, речь идет не просто о соответствии. Объект нов, и все же он вполне вписывается во все то, что уже хорошо известно.

А. К.: Не знаю, как сказать. Нам больше не нужен механизм оценки как функция от некой определенной цели, нам нужен, скорее, способ непосредственного измерения этого соответствия, еще до того, как в игру вступает мысль. Некий сложный для понимания механизм, позволяющий без обдумывания ощутить резонанс между новым мысленным объектом и теми вещами, какими мы давно и привычно манипулируем. Повторюсь, все это очень сложно понять.

Ж.-П. Ш.: Да, но такие механизмы просто необходимы машине, обладающей творческими способностями в математике.

А. К.: Именно так. Иначе это будет самый обычный компьютер. Замечательно, что мозг может с равной легкостью воспринимать и эту взаимосвязанность между различными объектами, и гармоничность объекта, прежде неизвестного. Впрочем, полной тождественности здесь нет. В этом, по-моему, и заключается исток логичности и непротиворечивости мира математики.

Ж.-П. Ш.: В соответствии новых математических объектов другим математическим объектам, хранящимся в долговременной памяти.

А. К.: Мне кажется, что это лишь доказывает логичность мира математики, не зависящую ни от какого отдельного человека.

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 157

Ж.-П. Ш.: К этому я и хотел тебя подвести. Эта логичность влияет на процесс отбора, в первую очередь, требованием непротиворечивости, в результате чего возникает новая логичность.

А. К.: Я не совсем уверен в этом. Мне кажется, что она лишь проявляется посредством этого процесса отбора...

Ж.-П. Ш.: Не будем возвращаться к этому спору! Мне кажется, что добавление к существующему ансамблю нового объекта открывает новое пространство для познания... Озарение, в каком-то смысле, приводит в гармоничное состояние несколько уровней организации мозга, как при созерцании произведения искусства. Но как определить ту форму эстетического наслаждения, которое нам доставляют те или иные картины [11, с. 158]? Вероятно, объяснить ее можно многочисленными резонансами между различными уровнями, связанными одновременно с рациональностью, пониманием и лимбической системой. Вхождение в резонанс происходит, когда зритель оказывается перед какой-либо «сингулярной» структурой. Иначе говоря, такое озарение можно рассматривать, как род межуровневого мысленного объекта, нового по отношению ко всему, что могло существовать ранее, объекта, устанавливающего связи между мысленными объектами, прежде не пересекавшимися.

А. К.: Полностью согласен с твоей интерпретацией. И все же мне хотелось бы, чтобы ты ее уточнил.

Ж.-П.Ш.: Эту метафору можно применить как к произведению искусства, так и, в какой-то мере, к математическому озарению. Озарение оказывается тем более сильным, поскольку возникающий объект - это новый объект, и он захватывает область, уже занятую какими-то скрытыми структурами. А ты думаешь, что эти структуры находятся там для того, чтобы возник новый объект...

А. К.: Да, но они же не являются частью мозга. Они принадлежат миру математики.

Ж.-П. Ш.: Вне зависимости от того, существует математика во внешнем мире или нет, в момент озарения она все равно находится в мозге.

А. К.: Совершенно верно. Я лишь хотел сказать, возвращаясь к самому первому нашему спору, что однажды испытав озарение, сложно не верить в существование гармонии, независимой от мозга и никак не связанной с индивидуальным творчеством.

158 ДАРВИН и МАТЕМАТИКИ

Ж.-П. ILL: Это субъективно. Думаю, нельзя сказать, что «Пье-та» Микеланджело существовала где-то до того, как он ее создал. Воспользуемся еще раз художественной метафорой. Увидев впервые «Страшный суд», мы испытываем «озарение». Однако абсурдно полагать, что эта картина существовала прежде того, как Микеланджело ее написал. Так же и в математике...

А. К.: В твоих словах есть доля истины. И все же я думаю, что существует фундаментальное различие между гармонией, испытываемой нами перед «Пьетой» Микеланджело, и той, что снисходит на нас безоблачной летней ночью, когда с помощью телескопа и калькулятора мы убеждаемся в том, что четыре спутника Юпитера неизменно подчиняются законам Кеплера. Мне очень сложно принять, что такого рода космическая гармония есть всего лишь произведение человеческого мозга. Напротив, я бы даже сказал, что эта предустановленная задолго до появления человека гармония в «таинственных глубинах звездных ночей», по всей вероятности, и способствовала зарождению в этом самом человеке метафизического любопытства. Однако вернемся к озарению.

Ж.-П. Ш.: Еще раз напомню, не следует смешивать существование закономерностей в материальном мире с существованием их выражения в приблизительных терминах или в виде математических уравнений, произведенных мозгом человека. Для того, чтобы продвинуться дальше в теоретическом плане, было бы интересно определить (возможно, это одно из самых больших преимуществ дарвиновской схемы) свойства генератора разнообразия и способ его функционирования в процессе фиксации интенций, а также выяснить, как происходит отбор объектов памяти для сохранения в области долговременной памяти и, в особенности, каковы критерии этого отбора. Что такое, по-твоему, функция отбора? Не совпадает ли она с функцией оценки, о которой мы говорили раньше? Происходит же оценка взаимосвязанности, которую нужно затем проверять, признавать действительной... Разве не так же оценивается правдоподобность той или иной гипотезы?

А. К.: Удивительно, что это оценка математической взаимосвязанности производится практически мгновенно. За долю секунды проявляется не только правдоподобность, но также и уверенность в том, что найденное адекватно тому, что искали. Это не рефлекс, но происходит все с той же скоростью.

Ж.-П.Ш.: Так происходит, например, распознавание лиц. Не знакомых лиц. Просто лиц прохожих.

г

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 159

А. К.: Именно это, на мой взгляд, и отличает второй уровень от третьего. На втором уровне можно распознать, как решать поставленную ранее задачу с помощью стратегически выработанных средств. На третьем уровне уже возможно понимание гармонии и мощи нового объекта, который вовсе не обязательно отвечает той или иной конкретной задаче.

Мыслящие машины

1. Разумные машины?

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Само название этой беседы задает основную проблему отношений, существующих между мозгом и машиной, и, в более общем виде, отношений между точными науками и функционированием мозга. В области создания мыслящих машин различается, по крайней мере, три подхода.

Первый подход - это искусственный интеллект. Своей целью он ставит имитацию высших функций мозга, человеческого интеллекта, с помощью компьютера. В какой-то мере, речь идет о замене человеческого мозга машиной. Можно отметить значительные успехи работ по искусственному интеллекту: роботы для окраски машин, компьютеры, управляющие космическими кораблями до Марса и дальше, экспертные системы, которые объединяют в себе последние достижения медицины и т.д. Однако исследования в области искусственного интеллекта не ставят целью понять, как функционирует человеческий мозг, они лишь пытаются «имитировать» некоторые из его функций. Таким образом, этот подход изначально очень ограничен.

Целью второго подхода является моделирование человеческого мозга и его функций. Речь идет о более глубокой исследовательской работе, предполагающей вклад различных дисциплин: математики, физики, нейробиологии и психологии. Моделирование осуществляется с опорой на данные анатомии и физиологии, на результаты молекулярной биологии и, конечно, на наблюдение за поведением, а это уже психология и этология. Эти исследования еще не достигли больших успехов. Однако мы располагаем достаточно хорошими моделями некоторых элементарных механизмов (таких, например, как распространение нервного импульса (модель Ходжкина-Хаксли) или аллостерические переходы пост-синаптических рецепторов), а также сложных систем из небольшого количества нервных клеток (например, систем, отвечающих

J

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 161

за плавание миноги, за получение визуальной информации искусственной сетчаткой или, наконец, за обучение птиц пению [20, 46]. Думаю, этот подход значительно перспективнее всех остальных, а мы с тобой обсуждаем эту тему только потому, что можем внести в эту область свой вклад.

Теперь о третьем подходе. Основой его являются так называемые нейромиметические машины. Суть проекта в следующем: как только будут разработаны теоретические модели церебральных функций на примере такого естественного объекта, как мозг со всеми его нейронами, можно будет сконструировать машины, способные на базе реальных нейронных структур продемонстрировать подлинно разумное поведение.

Три подхода, но очень мало результатов. Используемые структуры все еще очень упрощены: несколько слоев нервных клеток, рудиментарные элементарные механизмы и тому подобное.

А. К.: Возможен ли второй подход без третьего?

Ж.-П. Ш.: Ты прав. Третий подход представляет собой в какой-то степени верификацию второго. Для того, чтобы показать, что теоретическая модель адекватна, необходимо провести эксперимент, построив машину, характеристики которой будут подобны характеристикам человеческого мозга. Можно считать, что третий подход дополняет второй.

Однако я хотел бы, чтобы мы с тобой обсудили три вопроса. Первый касается теоремы Гёделя, второй - машины Тьюринга, а последний обусловлен различиями и сходством между человеческим мозгом и машинами, которые этот мозг способен создать.

2. Теорема Гёделя

Ж.-П. Ш.: В биологических исследованиях теорема Гёделя часто используется для того, чтобы сдержать амбиции нейробиоло-гов или даже усомниться в здравости их подхода. Она служит также для оправдания идеи, согласно которой «человеческий разум» всегда будет сопротивляться научному анализу. Франсуа Жа-коб, например, пишет: «Можно быть уверенным, что характерные для деятельности мозга реакции биохимики будут полагать столь же банальными, как и реакции пищеварения, однако описывать в терминах физики и химии движения сознания, чувства, устремления, воспоминания - это совсем другое дело. Ничто не говорит за

162 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

то, что мы когда-либо достигнем этого уровня, не только по причине сложности мозга, но еще и потому, что логическая система, согласно Гёделю, не является достаточной для своего собственного обоснования» [61]. С другой стороны, известен знаменитый афоризм Кабаниса: «Мозг выделяет мысль, как печень - желчь». Что до меня, я разделяю точку зрения Франсуа Жакоба о биохимии мозга и об относительно банальном характере молекул, составляющих структуру и участвующих в элементарных функциях нашего мозга. Это подтверждается и данными, получаемыми с 1970 года. Но я не являюсь его сторонником в том, что касается применимости теоремы Гёделя к нейронаукам. Разумеется, здесь возникает интересная методологическая проблема: нейробиолог, изучающий собственный мозг в состоянии самоисследования. Тем не менее, при современном состоянии науки я не вижу фундаментальных препятствий для изучения функционирования высшей нервной системы кого-либо из коллег, например тебя, с помощью методов визуализации, без прямого вторжения. А еще лучше исследовать функционирование нервной системы какого-либо вида животных, близкого к человеку (обезьян, например) методами экспериментальной нейрофизиологии. По той простой причине, что суть так называемого метода редукции или реконструкции, которые все мы используем в экспериментальных науках, как раз и заключается в поиске на нижележащем уровне объяснения феноменам, происходящим на вышележащем уровне. Иначе говоря, опираясь на организацию, правила взаимодействия и свойства элементов, составляющих нижний уровень, можно объяснить соответствующие свойства уровня верхнего. Так нейробиологи и исследуют неврологические основы высших функций человеческого мозга. И на этой стадии, насколько мне известно, не существует никаких теоретических препятствий. Главными препятствиями, как мне кажется, оказываются сложность организации мозга, его изменчивость от индивида к индивиду и возможное взаимовлияние методов наблюдения и собственно функционирования высшей нервной системы. Впрочем, подобная проблема существует и в физике, где методы наблюдения также могут взаимодействовать с наблюдаемыми объектами.

Вернемся к теореме Гёделя. Можно считать, что перевод ее с языка математики сводится к знаменитому философскому парадоксу: «Все жители Крита лгуны, как сказал Эпименид, критский мыслитель». Невозможно решить, является это утверждение ис-

г

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 163

тинным или ложным. Мы оказываемся, таким образом, в ситуации неразрешимой задачи. Какое бы ты дал определение теореме Гёделя? Как бы ты применил ее к нейронаукам и, в частности, к моделированию функционирования высшей нервной системы, мозга, решающего математическую задачу?

А, К.: Насколько мне известно, существуют два фундаментальных результата Гёделя относительно недостаточности, по выражению Ф.Жакоба, логической системы для своего собственного обоснования. Первый указывает на то, что невозможно, вследствие самоотносимости, доказать, что теория множеств является непротиворечивой. Это, впрочем, верно для любой теории, даже более рудиментарной, при условии, что она содержит очень простые, вполне определенные аксиомы. Затем теорема о неполноте. Для того, чтобы объяснить этот второй результат, мне нужно сначала уточнить, что такое неразрешимое высказывание в системе аксиом (например, в теории множеств). В качестве объяснения я хотел бы рассказать небольшую историю. В течение нескольких лет я каждый четверг навещал своего друга - математика, который был убежден в том, что доказал одну теорему. Он работал тогда над задачей, носящей имя одного довоенного польского математика. Задача формулировалась так: можно ли упорядоченное множество вещественных чисел охарактеризовать неким свойством. Задача эта занимала мысли моего друга на протяжении почти тридцати лет. И всякий раз, как я приходил к нему в четверг, он предлагал мне новое решение этой задачи. Он полагал, что отыскал доказательство, и при каждом моем посещении происходила примерно одинаковая последовательность действий. Он давал мне свое решение, чаще всего в письменном виде. Я искал ошибку. Иногда я находил ее сразу же, иногда мы возвращались к доказательству через неделю. И каждый раз он опять возвращался к задаче и что-то изменял в доказательстве, снова и снова. В действительности, я с самого начала знал, что какое бы то ни было доказательство в данном случае невозможно. Но я также знал и то, что я не могу указать ему на ошибку посредством приведения контрпримера. Почему? Потому что еще в шестидесятые годы было доказано, что эта задача неразрешима. Иногда в математике такое случается. В данном конкретном случае мы знаем, что если добавить к аксиомам теории множеств еще одну аксиому - например, аксиому континуума, - то можно доказать, что на поставленный в задаче вопрос имеется-таки ответ, причем положительный. Ее-

164 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

ли же мы добавим какую-либо другую подходящую аксиому, то можно доказать, что ответ будет, и будет отрицательным. Другими словами, ситуация такова, что без добавления к аксиомам теории множеств каких-то других аксиом математик не может доказать результат. Для меня было равно невозможно привести ему контрпример, не воспользовавшись какой-либо дополнительной аксиомой, на которую он с легкостью нашел бы множество возражений. Следует очень четко представлять себе, что такое неразрешимость. Она всегда имеет смысл...

Ж.-П. Ш.: ... в рамках данной системы аксиом.

А. К.: Вот именно. Высказывание неразрешимо, если можно доказать либо его истинность, либо его ложность, не опровергая аксиом, с которыми мы имеем дело каждый день... если, конечно, не учитывать возможной противоречивости самой теории множеств.

Ж.-П. Ш.: Значит, собственных аксиом системы для решения не достаточно.

А. К.: Совершенно верно. Теперь можно перейти к теореме Гёделя о неполноте. Согласно этой теореме, какими бы ни были аксиомы, будь их конечное количество или они заданы рекурсивно, всегда найдутся вопросы, на которые мы не сможем ответить, которые останутся неразрешимыми вследствие недостатка у нас информации. Иначе говоря, теорема Гёделя указывает, что невозможно ограничиться конечным числом аксиом таким образом, чтобы в рамках данной системы оказался разрешим любой вопрос. Это не означает, что вопрос нельзя проанализировать, исходя из того, что уже известно, это означает лишь, что число новых увлекательных вопросов, на которые необходимо отыскать ответ, бесконечно. Вот как следует понимать теорему Гёделя. На мой взгляд, было бы ошибкой делать из этого вывод, что мощь человека-машины ограничена. Эта теорема утверждает лишь то, что обладая конечным числом аксиом, на все вопросы ответить невозможно. Впрочем, если тот или иной вопрос неразрешим, и неразрешимость эта доказана, то ничто не мешает нам просто присвоить ему какой-либо ответ и продолжать рассуждение.

Это означает, что каждый новый неразрешимый вопрос порождает бифуркацию в той точке, где мы выбираем ответ, положительный или отрицательный. Мир, в котором мы живем, содержит множество всевозможных бифуркаций. И все они имеют значе-

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 165

ние. Однажды ответив на вопрос, мы можем продолжать ставить перед собой все новые и новые вопросы. Прежние вопросы становятся, таким образом, разрешимыми, каковыми они раньше не были. Каждый неразрешимый вопрос создает бифуркацию и вынуждает делать выбор. Например, бифуркацию порождает теорема Поля Коэна о континуум-гипотезе. Необходимо выбрать: либо не существует кардинальных чисел между счетным множеством рациональных чисел и континуумом, либо таких чисел существует 36. Первый ответ кажется предпочтительнее в силу своей простоты. При этом важно, чтобы выбор ответа в каждом конкретном случае основывался на прежних ответах на как можно более простые вопросы. И в самом деле, существуют вопросы более простые, чем вопросы о континууме.

Ж.-П.Ш.: Значит, фундаментального теоретического препятствия ты здесь не видишь...

А. К.: На данный момент я говорю только о проблеме неразрешимости. Если перед нами встает неразрешимый вопрос (например, вопрос о континууме) то нужно всего-навсего сформулировать гипотезу, которая сделает его разрешимым. Затем изучить следствия из этой гипотезы и ее способность прояснить другие вопросы. Например, если мы принимаем гипотезу континуума, то можно доказать (результат, полученный Г. Мокободски), что любой последовательности, состоящей только из действительных чисел, можно задать предел lim^ (??) таким образом, что будет выполняться неравенство нижний ПРЕДЕЛ (ап) < limw (??) < ^ ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ (??), при этом предел limw измеримо зависит от (ап) и взаимозаменяется интегралом. Этот результат оказывается весьма полезен в той математике, о которой мы сейчас говорим. Когда к системе добавляется гипотеза - например, континуум-гипотеза, - нужно, очевидно, убедиться в ее неразрешимости, т. е. в двух вещах: во-первых, эта гипотеза не должна выводиться из прежних аксиом системы (теорема Коэна для континуум-гипотезы), а во-вторых, ее отрицание также не должно быть следствием из прежних аксиом (для континуум-гипотезы этот результат был получен Куртом Гёделем). На практике эти результаты всегда доказываются на основании предположения о том, что теория множеств непротиворечива. Однако я считаю, что использовать теорему о неполноте для доказательства ограниченности нашего механизма понимания не совсем уместно. Она лишь дает нам понять, что выбирать так или иначе придется и что рекурсив-

166 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

ных способов сделать этот выбор раз и навсегда не существует. Вот каков смысл этой теоремы.

Ж.-П. Ш.: Ответ есть альтернатива. Эта теорема описывает, скорее, процесс приобретения знаний, нежели логическую и эпистемологическую невозможность. Значит, нейробиологи могут успокоиться. Рано или поздно мы разберемся в деятельности мозга!

А. К.: Теорема Гёделя определяет своего рода горизонт понимания, определяемого конечным числом уже осуществленных выборов. Чем больше это число, тем дальше горизонт. Представление о существовании горизонта не должно быть статическим, когда конечное число аксиом дает раз и навсегда ответ на все вопросы. Напротив, наше понимание носит динамический характер. Каждый раз, когда понимание расширяется, мы становимся способны ответить на большее количество вопросов. В каждой новой бифуркации мы можем делать такой выбор, чтобы горизонт отдалялся от нас. Очевидна иллюзорность мысли, что когда-нибудь мы все поймем. Это проблема науки вообще. Однако не следует замыкать себя в границах и терять надежду только из-за того, что якобы утверждает теорема Гёделя.

На самом деле, в ее самой глубинной формулировке, теорема Гёделя о неполноте показывает лишь то, что математику можно свести к формальному языку. В начале века математики пытались точно определить, что есть математическое доказательство. Гильберт создал искусственный язык на основе конечного алфавита с конечным числом грамматическим правил, позволяющих однозначно определять связность высказываний, конечным числом правил логического вывода и конечным числом высказываний, предполагаемых истинными, или аксиом. Исходя из такой системы или формального языка, можно построить универсальный алгоритм, который позволит принимать решение об истинности любого доказательства, сформулированного на этом языке. Таким образом мы можем - по крайней мере, теоретически - составить список всех теорем, которые можно доказать с помощью этого формального языка. Гильберт полагал, что сможет привести все математические теоремы* к такому виду, что с помощью соответствующего формального языка их можно будет доказать. Теорема же Гёделя показывает, что это невозможно. Какова бы ни была сложность формальной системы, всегда будет существовать высказывание, касающееся целых положительных чисел, которое

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 167

будет одновременно истинным и недоказуемым в данной формальной системе. Неоднократно подчеркивался отрицательный аспект этой теоремы, в рамках которой невозможно дать четкое определение понятию доказательства. Но нельзя ли рассмотреть ее под следующим углом: истинные высказывания о положительных целых числах не могут быть сведены посредством логического вывода к конечному числу аксиом. Количество информации, содержащееся во множестве всех этих высказываний, будет бесконечным. Не кажется ли тебе, что это характеристика реальности, не зависящей от какого бы то ни было человеческого творения?

Но обратимся к проблеме интроспекции. Со времени создания теории множеств многочисленные парадоксы (в частности, парадокс Рассела) вынуждают нас выстраивать логические высказывания в соответствии с последовательными типами. Упомянутый парадокс Рассела возникает тогда, когда мы допускаем синтаксические ошибки. Например, если множество всех множеств есть множество, то можно рассмотреть некую его часть, которая есть множество множеств, содержащихся в нем в качестве элементов, а его дополнением является множеством множеств, не содержащихся в нем в качестве элементов. Парадокс возникает тогда, когда возникает вопрос, является ли это множество элементом самого себя. Для того, чтобы на этот вопрос ответить, достаточно ввести иерархию (логическую) элементов по иному, нежели принадлежность к множеству, признаку. Начнем с элементов - тип 0. Далее, множества - тип 1. Различие между типами различного уровня позволяет не смешивать друг с другом различные по своей сути множества. Уже невозможно говорить о множестве всех множеств - синтаксическая ошибка. Когда в логике присутствует иерархия, парадокс исчезает.

Ж.-П. Ш.: Ты говоришь о своего рода создании порядка.

А. К.: Последовательность типов позволяет ввести иерархию в механизмы мышления: элементы множеств рассматриваются как сущности, более простые или менее замысловатые, нежели сами множества.

Ж.-П. Ш.: Нельзя рассуждать, вкладывая в одни и те же термины различный смысл.

А. К.: Нельзя ставить на одну полку элементы и множества. В частности, нельзя ставить вопрос о множестве множеств, содержащихся в нем в качестве элементов. Аналогичную процедуру следует применять и к проблеме интроспекции мозга в процес-

168 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

се самопознания, в результате чего этот мнимый парадокс будет устранен.

Ж.-П. Ш.: Следовательно, он не является неразрешимым.

А. К.: О неразрешимости здесь и речи не идет. Парадокс является следствием синтаксической ошибки. Очевидно, что логику теории множеств следовало бы сформулировать таким образом, чтобы этот парадокс был устранен раз и навсегда. Что и произошло, когда мы сформулированы свои вопросы с учетом вышеописанной иерархии.

Ж.-П. Ш.: Ты делаешь парадокс разрешимым, добавляя к нему гипотезы.

А. К.: Вовсе нет, просто парадокс вынуждает меня ввести более точное определение логических объектов и соответствующую иерархию.

Ж.-П. Ш.: Перейдем ко второму вопросу.

А. К.: Да. В каком смысле теорема Гёделя налагает ограничение на понимание функционирования мозга? Анализируя понятие случайной последовательности, математики пришли к выводу, что между теоремой Гёделя и теорией информации, разработанной в начале пятидесятых годов [7], существует прямая связь. Причем в такой степени, что можно рассматривать эту теорему как следствие ограничений, налагаемых теорией информации по причине конечной сложности любой формальной системы. Таким образом, второе из двух выдвинутых Ф. Жакобом ограничений (сложность и теорема Гёделя) является следствием первого. А это означает, что упомянутые ограничения можно обойти. Сначала, во избежание возникновения парадокса интроспекции, введем иерархическое различие между анализируемым мозгом (тип 0) и мозгом анализирующим (тип 1)... Далее, используя эволюционный характер развития человека как вычислительной машины, возможность объединять вместе очень большое количество мозгов, а также вероятную помощь информатики в классификации данных, можно доказать, что сложность «анализируемого мозга» вовсе не ограничена сложностью «анализирующего мозга», что устраняет первое из возражений Ф. Жакоба.

3. Мыслящая машина Тьюринга

Ж.-П.Ш.: Перейдем к машине Тьюринга. А. К.: Напомни мне, что это такое.

r

3. МЫСЛЯЩАЯ МАШИНА ТЬЮРИНГА 169

Ж.-П. III.: Тьюринг был замечательным математиком. Его работы до сих пор вдохновляют многих биологов. Он был одним из немногих творцов от математики, предложивших теории, которые уверенно применяются в биологии. Взять хотя бы теорию, объясняющую морфогенез нарушениями симметрии. Ему удалось показать, как в системе сопряженных химических реакций может спонтанно возникать форма, соответствующая той или иной изотропной системе. К тому же задачу он поставил весьма конкретным и даже забавным образом - объяснить, как может из сферического яйца образоваться гидра, рот которой окружен шестью щупальцами! Конкретно и точно поставленные биологические задачи могут, как мы видим, вдохновить математика на создание оригинальной математической теории. Кроме того, именно Тьюринг одним из первых сформулировал теорию вычислительных устройств, компьютеров - таких, какими мы с вами пользуемся сегодня. Эта теория составляет постоянный предмет бурных дебатов между психологами и нейробиологами, а главный вопрос, на который она стремится найти ответ, звучит так: сможем ли мы когда-нибудь создать машину Тьюринга, обладающую качествами, тождественными качествам человеческого мозга, и не является ли в таком случае сам мозг машиной Тьюринга. Его статья начинается с такой фразы: «Я предлагаю задуматься над вопросом: могут ли машины мыслить?» Именно этот вопрос мы и задаем сегодня друг другу.

Прежде всего, что же такое машина Тьюринга? Машина, которую он описывает в своей статье, опубликованной в 1936 году, читает и записывает на ленте дискретные символы, квадраты; лента служит для ввода данных в машину. Кроме того, символы на ней сохраняются, вследствие чего она может выступать и в роди памяти. Равно как и в роли устройства вывода. Машина выполняет три операции: считывает символы, изменяет их и добавляет новые. Теоретически эта лента бесконечна и представляет собой, в некотором роде, программу. Таким образом, Тьюринг сразу выделяет программное обеспечение, или, по-английски, «software»...

А. К.: Может ли машина считывать с ленты свои собственные операции?

Ж.-П.Ш.: Да, может.

А. К.: Лента проходит только один раз или может возвращаться назад?

170 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

Ж.-П. Ш.: Она может проходить через машину бесконечно. На ленте записана программа, или «software», тогда как остальная машина, в своем материальном воплощении, составляет «железо», или «hardware». Иначе говоря, перед нами точно такой же компьютер, какие производят сегодня.

А. К.: В описании не задан механизм, используемый машиной.

Ж.-П. Ш.: Это проблема. Машина Тьюринга представляет собой цифровой вычислитель, манипулирующий величинами в дискретной форме. В этом ее отличие от аналоговых вычислителей, измеряющих непрерывные физические величины. Цифровой вычислитель - и это очень важное положение теории Тьюринга - способен имитировать любую другую машину, работающую с дискретными величинами. Таким образом, он является универсальной машиной, и ему совершенно безразлично, какой именно процесс вы представите в форме последовательности инструкций, допускающих манипулирование дискретными элементами. Иначе говоря, машина Тьюринга способна, в принципе, воспроизвести какой угодно процесс. Она способна смоделировать даже аналоговый калькулятор.

Теперь возникает вопрос о применимости тезисов Черча и Тьюринга, согласно которым все, что может вычислить человек, может вычислить и машина, все, что может вычислить машина, может вычислить и обще- или частично рекурсивная программа, и, наконец, все, что может вычислить человек, может вычислить и эта самая программа. Это возвращает нас к предположению о возможности отождествления мозга и его деятельности с машиной Тьюринга. Доктрина функционализма, которую очень любят психологи-когнитивисты (такие, например, как Джонсон-Лэйрд), утверждает, что психология сводится к исследованию программ и, следовательно, никак не зависит от нейропсихологии, поскольку та изучает собственно машину и ее код. Все, что касается психики, входит, таким образом, в software, тогда как мозг, со своими нейронами и синапсами, составляет hardware. Следовательно, он почти не представляет интереса для функционалистов, которые даже приходят к заключению, что физическая природа мозга «не накладывает на организацию мысли никаких ограничений» [66]. В соответствии с этой модной в области наук о познании доктриной, совсем не важно, состоит мозг из протеинов или силикона, равно как не важны ни количество, ни природа этих нейронов. Имеют значение лишь алгоритмы, с которыми отождествляются функции

4, ТЕОРИЯ ^-МАТРИЦЫ в ФИЗИКЕ - АНАЛОГ ФУНКЦИОНАЛИЗМА 171

мозга. Интересоваться нейробиологическими основами - пустая трата времени!

4. Теория S-матрицы в физике - аналог функционализма в психологии?

А. К.: Можно провести параллель между противопоставленными тобой выше подходами и аналогично противоположными подходами в физической теории поля. Эта теория пытается объяснить механизм взаимодействия элементарных частиц. Там тоже противопоставляются две тенденции.

Ж.-П. LLL: Может быть, ты сначала объяснишь, что это такое - теория поля?

А. К.: В квантовой механике и теории относительности известно, что частицы рождаются и уничтожаются произвольным образом. Количество частиц непостоянно, в противоположность тому, что мы имеем в химии. Стало быть, даже при исследовании очень простых явлений необходимо рассматривать не изолированные частицы, а поля, зависящие от бесконечного числа переменных. Этой весьма сложной теории сопутствовал огромный успех. В особенности бросается в глаза аналогия между доктриной функционализма и теорией ^-матрицы Гейзенберга. Согласно этой теории, не имеет значения, что происходит в момент столкновения частиц. Значение имеет лишь матрица, переходящая от начального состояния системы (состоящей, например, из полутора десятка свободных частиц, импульсы и масса которых известны) к конечному ее состоянию, также представленному в форме свободных частиц. Эта матрица сопоставляет каждой паре, составленной из начального и конечного состояний (г, /) некоторое комплексное число. Соответствующая данной паре вероятность равна квадрату модуля комплексного числа. Теория предлагает анализировать свойства матрицы вне зависимости от конкретного механизма, управляющего взаимодействиями, возникающими в момент столкновений. Если нам известна ^-матрица, то это не означает, что мы понимаем, что происходит, - это означает лишь то, что у нас есть модель, дающая результаты, согласующиеся с экспериментальной реальностью.

Ж.-П.Ш.: Так называемая феноменология.

А. К.: Да.

172 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

Ж.-П. III.: Взаимодействия происходят в некоем «черном ящике», до которого никому нет дела. Столько же интереса проявляют функционалисты к мозгу!

А. К.: Совершенно верно. Такой подход вводит определенное число упрощений и усложнений. Так, сформулировать проблему удается более простым образом, так как детали механизма остаются в стороне. Однако количество возможных решений поставленной задачи настолько велико, что в них просто теряешься. Как показало развитие физики, сама по себе эта теория является недостаточной. Но она оказывается полезной, если в процессе исследования феноменов в рамках фундаментальной теории мы ставим перед собой целью также вычисление ^-матрицы. Таким образом, полностью исключать эту точку зрения не следует. Напротив, из истории физики мы видим, что время от времени такой подход оказывается весьма поучительным. Сегодня, например, очень популярна теория струн, в точности следующая из теории 5-матри-цы. Венециано обнаружил ^-матрицу, которая подтверждает некоторые важные их свойства и позволяет высказать предположения касательно природы механизма взаимодействия. В остальном эта теория представляется достаточно странной; возможно, она так и не найдет никакого применения, и мы вскоре забудем о ней. Тем более что никаких точек соприкосновения с экспериментально подтверждаемой реальностью в ней нет.