Часть 2.

<«Если ><число ><индивидуальных ><объектов ><равно ><то ><«расстояние ><от ><а ><до ><Ь ><равно ><п ><метров ><± ><один ><сантиметр» ><«расстоянию ><от ><а ><до ><Ъ ><равно ><т ><метров ><± ><один ><сантиметр», ><->

<станет ><истинной ><теоремой ><логики, ><если ><мы ><принимаем ><указанную ><схему ><перевода. ><Итак, ><номиналистический ><язык, ><в ><принципе, ><не ><го><дится ><для ><физики>

<Его ><непригодность ><станет ><еще ><очевидней, ><если ><мы ><посмотрим ><на ><проблему ><в ><менее ><формалистическом ><ракурсе. ><Понятие ><«расстояние ><в ><метрах» ><крайне ><сложно. ><Что ><включается ><в ><предположение ><о ><том, ><что ><такую ><физическую ><величину ><как ><расстояние ><можно ><каким-то ><об><разом ><соотнести ><с ><действительными ><числами?>

<Согласно ><одному ><объяснению ><(которое ><я ><считаю ><верным), ><физи><ка ><обязывает ><нас ><признать ><существование ><таких ><сущностей, ><как ><«пространственные ><точки» ><(или ><пространственно-временные ><точки ><в ><релятивистской ><физике), ><хотя ><природа ><этих ><сущностей ><далеко ><не ><ясна. ><Физики ><часто ><утверждают, ><что ><пространственно-временные ><точки ><- ><это ><просто ><«события», ><хотя, ><очевидно, ><что ><это ><неверно. ><Карнап ><и ><Куайн ><предпочитают ><говорить ><о ><точках, ><как ><тройках ><дейст><вительных ><чисел ><(или ><тетрадах ><действительных ><чисел ><в ><случае ><про><странственно-временных ><точек); ><однако ><это ><представляется ><весьма ><неестественным, ><поскольку ><в ><интуитивном ><смысле ><идентичность ><(identity) ><пространственной ><точки ><не ><зависит ><от ><конкретной ><системы ><координат. ><Я ><предпочитаю ><думать ><о ><них ><как ><о ><свойствах ><некоторых ><событий ><(или ><частиц, ><если ><в ><физике ><есть ><точки-частицы); ><но ><давайте ><на ><некоторое ><время ><будем ><считать ><их ><элементарными ><сущностями, ><которые ><можно ><идентифицировать ><только ><с ><помощью ><имени ><«точки». ><С ><любой ><точки ><зрения ><между ><точками ><имеет ><место ><физически ><зна->

<ЛОГИКИ>< ><125>>

<<><чимое ><отношение ><С ><(х, ><у, ><которое ><можно ><назвать ><отношением ><конгруэнтности; ><на ><обычном ><языке ><это ><отношение ><можно ><выразить ><так: ><интервал ><~х ><у ><конгруэнтен ><интервалу ><~~zw. ><(Я ><сказал ><«с ><любой ><точки ><зрения», ><потому ><что ><существуют ><серьезные ><разногласия ><меж><ду ><философами: ><одни ><полагают, ><что ><это ><отношение ><можно ><опреде><лить ><операционально, ><а ><другие, ><к ><коим ><принадлежу ><и ><я, ><считают, ><что ><все ><так ><называемые ><операциональные ><определения ><далеко ><неточны ><и ><что ><рассматриваемое ><отношение ><следует ><признать ><исходным ><в ><физи><ческой ><теории). ><Возьмем ><две ><точки ><(скажем, ><конечные ><точки ><эталона ><метра ><в ><Париже ><в ><конкретный ><момент ><времени) ><и ><назовем ><их ><а><к>< ><и ><а><2><. ><Примем, ><что ><расстояние ><от ><а, ><до ><а><2><, ><по ><определению, ><равно ><единице. ><Тогда ><«расстояние» ><между ><любыми ><двумя ><точками ><х ><и ><у ><можно ><оп><ределить ><как ><некую ><числовую ><величину ><следующим ><образом:>

<Согласно ><определению, ><«расстояние ><от ><х ><до ><^ ><равно ><г» ><означает, ><что ><(х, ><у) ><= ><г, ><где ><- ><любая ><функция, ><удовлетворяющая ><следую><щим ><пяти ><условиям:>

<(ну, ><и) ><определена ><(и ><имеет ><в ><качестве ><значения ><неотрица

><тельные ><действительные ><числа) ><для ><любых ><точек >

<(w, ><= ><О, ><если ><и ><только ><если ><та ><же ><самая ><точка, ><что ><и >

<(w, ><= ><(w', ><если ><и ><только ><если ><выполняется ><отно

><шение ><С ><(да, ><и.', >< >< ><(т. ><е. ><если ><и ><только ><если ><интервал ><конг

><руэнтен ><интервалу >

<Если ><и ><- ><колинеарные ><точки, ><и ><находится ><между >

><и ><и, ><то ><(w, ><и) ><= ><(ш, ><+ ><(v, ><и). >< ><(Понятия >< ><«колинеарный» ><и

><«между» >< ><можно ><или ><определить ><стандартным ><способом >< ><в ><терминах

><отношения ><С, ><или ><взять ><как ><исходные ><понятия ><физической ><геомет

><рии.)>

<(5)/(а„>< ><а><2><)= ><1.>

<Можно ><показать, ><что ><существует ><только ><одна ><функция, ><удовлет><воряющая ><условиям ><(1)><-><(5) ><6><. ><Стало ><быть, ><содержание ><вышеприве><денного ><определения ><можно ><выразить ><так: ><расстояние ><- ><это ><значе><ние ><единственной ><функции, ><удовлетворяющей ><условиям ><(1)><-><(5).>

<><6>< ><Строго ><говоря, ><это ><истинно ><только, ><если ><является ><непрерывной ><функцией, ><отображающей ><пространственные ><точки ><на ><действительные ><чис><ла. ><Однако ><это ><требование ><непрерывности ><можно ><соблюсти, ><даже ><если ><мы ><не ><предполагаем, ><что ><у ><нас ><уже ><есть ><метрика, ><применимая ><к ><пространствен><ным ><точкам. ><Я ><опустил ><этот ><момент ><в ><настоящей ><статье ><в ><целях ><упрощения ><изложения>

<126 ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><Назовем ><то, ><что ><было ><описано ><выше, ><«нумеризацией» ><(numerica-><6>< ><физической ><величины ><расстояния. ><В ><контексте ><нашего ><рас><смотрения ><главным ><является ><следующее: ><даже ><если ><мы ><рассматрива><ем ><«точки» ><как ><отдельные ><индивидуальные ><объекты, ><а ><отношение ><«С ><{х, ><у, ><- ><как ><исходное, ><мы ><все ><равно ><не ><сможем ><объяснить ><нумеризацию ><расстояния ><без ><помощи ><квантификации ><по ><функциям. ><(Конечно, ><мы ><можем ><уйти ><от ><проблемы, ><отождествив ><точки ><с ><трой><ками ><действительных ><чисел ><и ><воспользовавшись ><теоремой ><Пифагора, ><чтобы ><сформулировать ><определение ><расстояния, ><но ><тогда ><мы ><или ><должны ><были ><бы ><проанализировать ><отношение ><«объект ><О ><находится ><в ><точке ><Р», ><или ><должны ><счесть ><нумеризацию ><совершенно ><загадочной ><и ><необъяснимой ><процедурой.)>

<Короче ><говоря, ><даже ><утверждение ><вида ><«расстояние ><от ><а ><до ><Ь ><равно ><г><х>< ><± ><г><2><», ><где ><г><{>< ><и ><г><2>< ><- ><переменные, ><определенные ><на ><множест><ве ><рациональных ><чисел, ><нельзя ><объяснить ><без ><использования ><поня><тия ><функции, ><отображающей ><точки ><на ><действительные ><числа ><или, ><по ><крайней ><мере, ><на ><рациональные ><числа. ><Если ><для ><любых ><констант ><г, ><и ><г><2>< ><можно ><сформулировать ><эквивалентное ><утверждение ><с ><квантифика-><цией ><только ><по ><«точкам», ><то, ><чтобы ><объяснить ><значение ><предиката, ><когда ><он ><применяется ><к ><переменным ><л, ><и ><г><2><, ><необходимы ><понятия ><функции ><или ><множества. ><И ><даже ><обычное ><решение, ><как ><мы ><только ><что ><видели, ><предполагает ><функции, ><отображающие ><точки ><на ><действи><тельные ><числа.>

<Одному ><и ><тому ><же ><человеку ><нетрудно ><в ><одном ><контексте ><при><держиваться ><номиналистических ><убеждений, ><а ><в ><другом ><- ><говорить ><о ><расстоянии ><как ><о ><чем-то ><определенном ><(и ><обладающем ><числовым ><значением) ><для ><любых ><произвольно ><взятых ><точек ><х ><и ><у. ><Однако, ><как ><мы ><только ><что ><видели, ><это ><непоследовательно. ><Если ><нумеризация ><физических ><величин ><имеет ><какой-то ><смысл, ><то ><мы ><должны ><принять ><такие ><понятия, ><как ><функция ><и ><действительное ><число; ><но ><именно ><эти ><понятия ><номиналисты ><и ><отвергают. ><Если ><этим ><понятиям ><ничего ><не ><соответствует, ><то ><что ><же ><тогда ><говорит ><закон ><гравитации? ><Этот ><за><кон ><не ><будет ><иметь ><никакого ><смысла, ><если ><мы ><не ><сможем ><объяснить>

<><6>< ><В ><любом ><тексте ><по ><философии ><науки ><вы ><найдете ><термин ><«измерение», ><а ><не ><«нумеризация» ><Я ><выбрал ><этот ><варварский ><термин, ><и-бо ><хотел ><под><черкнуть, ><что ><проблема ><состоит ><не ><в ><том, ><чтобы ><измерить ><что-либо, ><а ><в ><том, ><чтобы ><определить ><нечто, ><а ><именно ><- ><определить ><соответствие ><между ><парами ><точек ><и ><числами ><Термин ><«измерение» ><- ><это ><наследие ><времен ><опе-><рационализма, ><когда ><предполагалось, ><что ><измерение ><предшествует ><определе><нию, ><а ><не ><наоборот.>

<ЛОГИКИ>< ><127>>

<<><переменные, ><значениями ><которых ><являются ><произвольно ><взятые ><рас><стояния ><(а ><также ><силы ><и ><массы).>

<ПРЕДИКАТИВНАЯ ><ИЛИ ><НЕПРЕДИКАТИВНАЯ ><КОНЦЕПЦИИ ><«МНОЖЕСТВА»>

<Множество ><{х, ><у), ><содержащее ><только ><два ><элемента ><х, ><у ><называ><ется ><неупорядоченной ><парой ><х ><и ><у. ><На ><основе ><неупорядоченных ><пар ><можно ><различными ><способами ><определить ><упорядоченные ><пары. ><Наиболее ><естественный, ><хотя ><и ><не ><самым ><привычный, ><способ ><состо><ит ><в ><следующем: ><Возьмем ><в ><качестве ><«маркеров» ><два ><объекта ><а ><и ><Ь. ><Определим ><упорядоченную ><пару ><х ><и ><как ><множество ><{{х, ><а), ><{у, ><Ь}}, ><т. ><е. ><как ><неупорядоченную ><пару, ><элементами ><которой ><являются ><не><упорядоченные ><пары ><{х, ><а} ><и ><{у, ><Ь). ><Введем ><для ><этой ><упорядоченной ><пары ><обозначение ><<х, ><у>, ><т. ><е. ><по ><определению ><<х, ><у> ><есть ><{{х, ><а), ><{у, ><Ь}}. ><Теперь ><легко ><понять, ><что ><для ><любых ><х, ><у, ><и, >

<<х, ><у>=<и, >,>

<если ><и ><только ><если ><х ><= ><и ><и ><у ><= ><Таким ><образом, ><две ><«упорядочен><ные ><пары» ><тождественны ><только ><в ><том ><случае, ><если ><они ><состоят ><из ><одних ><и ><тех ><же ><элементов ><и ><эти ><элементы ><одинаково ><упорядочены ><- ><только ><это ><и ><требуется ><для ><определения ><упорядоченной ><пары.>

<В ><математике ><двуместное ><отношение ><- ><просто ><множество ><упо><рядоченных ><пар. ><Поскольку ><«упорядоченная ><пара» ><была ><только ><что ><определена ><на ><основе ><«неупорядоченной ><пары», ><а ><«неупорядоченная ><пара» ><- ><это ><просто ><множество, ><то ><отсюда ><следует, ><что ><«отношение» ><можно ><определить ><на ><основе ><одного ><исходного ><понятия ><множества. ><Пусть ><отношение ><такое, ><что ><для ><всех ><и, ><у>

<если ><<и, > ><и ><<и, ><у> ><е ><то ><= ><у,>

<тогда ><это ><отношение ><называется ><«функцией». ><Поскольку ><функция ><была ><только ><что ><определена ><на ><основе ><понятия ><отношения ><(и ><поня><тия ><« ><= ><«, ><которое ><мы ><считаем ><принадлежащим ><к ><элементарной ><ло><гике), ><то ><отсюда ><следует, ><что ><и ><функция ><определяется ><на ><основе ><по><нятия ><множества.>

<Хорошо ><известно, ><что ><натуральные ><числа ><0, ><1, ><2, ><3, ><... ><можно ><разными ><способами ><определить ><на ><основе ><понятия ><множества. ><На><пример, ><можно ><определить ><0 ><как ><пустое ><множество, ><1 ><- ><как ><множе><ством ><{0}, ><2 ><- ><как ><{0, ><1}, ><3 ><- ><как ><{0, ><1, ><2} ><и ><т. ><д. ><Кроме ><того, ><и ><все ><элементарные ><операции ><«сложить», ><«умножить» ><и ><т. ><п., ><можно ><опре->

<128 ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><делить ><на ><основе ><понятия ><множества. ><Рациональные ><числа ><естест><венным ><образом ><определяются ><как ><упорядоченные ><пары ><натуральных ><чисел, ><не ><имеющих ><общего ><делителя ><(при ><этом ><второй ><член ><упорядо><ченной ><пары ><не ><равен ><нулю); ><действительные ><числа ><можно, ><напри><мер, ><определить ><как ><ряды ><рациональных ><чисел, ><где ><«ряд» ><- ><функ><ция, ><областью ><определения ><которой ><являются ><натуральные ><числа. ><Таким ><образом, ><все ><«объекты» ><чистой ><математики ><можно ><построить, ><опираясь ><на ><понятие ><множества, ><и ><именно ><так ><предпочитают ><делать ><все ><современные ><математики.>

<Таким ><образом, ><если ><в ><предыдущем ><разделе ><мы ><говорили, ><что ><физика ><не ><может ><обойтись ><без ><ссылок ><на ><функции ><и ><действительные ><числа, ><то ><теперь ><мы ><можем ><просто ><сказать, ><что ><физике ><необходимо ><лишь ><такое ><понятие ><как ><множество, ><поскольку ><понятия ><числа ><и ><функции ><можно ><построить ><на ><основе ><понятия ><множества. ><В ><настоя><щем ><разделе ><мы ><дадим ><беглый ><обзор ><понятия ><множества.>

<Наиболее ><известная ><трудность ><в ><отношении ><понятия ><множества ><такова. ><Предположим, ><что:>

<Множества ><- ><это ><самостоятельные ><сущности ><(т. ><е. ><сущно

><сти, ><по ><которым ><мы ><можем ><квантифицировать ><7><);>

<Если ><0 ><- ><любое ><точно ><определенное ><условие, ><то ><существу

><ет ><множество ><всех ><сущностей, ><удовлетворяющих ><условию ><0.>

<Тогда ><(допуская ><также, ><что ><условие ><«~ ><х ><е ><х» ><точно ><определено) ><мы ><выводим, ><что ><существует ><множество ><всех ><множеств ><х ><таких, ><что ><х ><не ><принадлежит ><к ><х. ><Пусть ><- ><такое ><множество, ><тогда:>

<(3)>< ><(х) ><(х ><е ><у ><= ><~ ><х ><е ><х).>

<Затем, ><подставляя ><у ><вместо ><х, ><получаем>

<(4) ><у ><е ><у ><= ><~ ><у ><е ><у,>

<а ><это ><- ><противоречие!>

<Очевидно, ><что ><одно ><из ><наших ><допущений ><было ><ложным. ><Какое ><же? ><Мы ><могли ><бы ><сказать, ><что ><«~ ><х ><е ><х» ><не ><является ><точно ><опреде><ленным ><условием. ><Однако, ><если ><х ><е ><у ><точно ><определенное ><отноше><ние ><для ><любых ><произвольно ><выбранных ><множеств ><х ><и ><у, ><то ><пред><ставляется, ><что ><ихех,>< ><и~хех>< ><должны ><быть ><точно ><определены ><(в ><том ><смысле, ><что ><они ><имеют ><определенное ><истинностное ><значение) ><для ><любого ><множества ><х. ><Отказ ><считать, ><что ><х ><е ><у ><- ><точно ><опреде->

<><7>< ><«Квантифицировать ><по» ><множествам ><значит ><использовать ><такие ><выраже><ния, ><как ><«для ><каждого ><множества ><х» ><и ><«существует ><множество ><х ><такое, ><что»>

<ЛОГИКИ>< ><129>>

<<><ленное ><отношение ><или ><что ><множества ><- ><это ><самостоятельные ><сущ><ности, ><означал ><бы ><отказ ><от ><самой ><теории ><множества. ><В ><таком ><случае ><единственная ><альтернатива ><- ><это ><отказаться ><от ><(или, ><по ><крайней ><мере, ><ограничить) ><условие ><(2), ><которое ><сильно ><расходится ><с ><нашими ><интуициями.>

<Одним ><из ><способов ><разрешить ><эту ><трудность ><является ><так ><назы><ваемая ><теория ><типов. ><Согласно ><этой ><теории, ><«х ><е ><у» ><точно ><опреде><лено, ><если ><и ><только ><если ><х ><к ><у ><относятся ><к ><соответствующим ><типам; ><при ><этом ><считается, ><что ><индивидуальные ><объекты ><принадлежат ><к ><ти><пу ><0, ><множества ><индивидуальных ><объектов ><- ><к ><типу ><1, ><множества ><множеств ><индивидуальных ><объектов ><к ><типу ><2 ><и ><т. ><д. ><Согласно ><этой ><теории, ><выражение ><«~ ><х ><е ><х» ><нельзя ><даже ><считать ><грамматически ><правильным, ><поскольку ><ни ><об ><одном ><множестве ><мы ><не ><можем ><ска><зать, ><что ><оно ><является ><или ><не ><является ><собственным ><элементом. ><Можно ><говорить ><о ><том, ><принадлежит ><ли ><множество ><к ><любому ><мно><жеству ><более ><высокого ><типа, ><но ><нельзя ><говорить ><о ><том, ><принадлежит ><ли ><множество ><к ><самому ><себе ><(или ><к ><любому ><другому ><множеству, ><не ><относящемуся ><к ><более ><высокому ><типу).>

<Пусть ><- ><некоторое ><отношение ><между ><индивидуальными ><объ><ектами. ><Назовем ><-цепью ><такое ><множество ><а, ><что ><для ><любого ><х, ><ес><ли ><х ><е ><а, ><то ><существует ><хотя ><бы ><один ><у ><такой, ><что ><и ><е ><а. ><До><пустим, ><имеется ><некоторая ><-цепь, ><содержащая ><индивидуальный ><объект ><Тогда ><запишем:>

<(5) ><(3 ><а) ><(а ><есть ><-цепь. ><е ><а),>