Библиотека    Новые поступления    Словарь    Карта сайтов    Ссылки






назад содержание далее

Часть 2.

<<><«математике». ><Но ><по-прежнему ><остается ><проблема: ><что ><утвержда><ет ><логик, ><строя ><системы, ><содержащие ><теоремы, ><подобные ><(5')? ><Воз><можно, ><конечно, ><он ><ничего ><и ><не ><утверждает, ><а ><просто ><конструирует ><неинтерпретированную ><формальную ><систему, ><но ><тогда ><он ><определен><но ><не ><занимается ><логикой. ><Дело ><в ><том, ><что ><большинство ><логиков ><хо><тело ><бы ><утверждать ><следующее: ><теоремы ><системы ><являются ><кор><ректными ><формулами. ><Если ><не ><явным ><образом, ><то ><хотя ><бы ><импли><цитно, ><логик ><стремится ><делать ><утверждения, ><имеющие ><форму ><«то-то ><и ><то-то ><корректно»; ><т. ><е. ><утверждения ><типа ><(Л). ><Поэтому ><даже ><ло><гику ><первого ><порядка ><обычно ><понимают ><так, ><будто ><она ><«метатеория»; ><если ><вообще ><логик ><делает ><какие-то ><утверждения, ><когда ><записывает ><схемы, ><подобные ><(5'), ><то ><он ><делает ><утверждения ><о ><корректности, ><а ><это ><означает, ><что ><он ><неявным ><образом ><делает ><утверждения ><второго ><порядка: ><утверждать ><корректность ><схемы ><первого ><порядка ><(5') ><значит ><утверждать, ><что ><(S) ><(М) ><(Р) ><(схема ><5'), ><а ><это ><уже ><утверждение ><вто><рого ><порядка.>

<Подведем ><итог. ><На ><мой ><взгляд, ><(а) ><довольно ><неоправданно ><ут><верждать, ><что ><логика ><«второго ><порядка» ><не ><является ><«логикой»; ><но ><(б) ><даже ><если ><мы ><действительно ><так ><думаем, ><вполне ><естественно ><считать, ><что ><записывая ><схемы ><первого ><порядка, ><мы ><неявно ><утверж><даем ><их ><корректность, ><т. ><е. ><делаем ><утверждения ><второго ><порядка. ><В ><свете ><этого ><нетрудно ><понять, ><почему ><и ><каким ><образом ><традиционный ><вопрос ><о ><реализме ><и ><номинализме ><привлек ><огромное ><внимание ><фило><софов ><логики: ><ибо ><если ><мы ><правы, ><то ><вполне ><естественно ><считать, ><что ><вся ><логика, ><включая ><и ><теорию ><квантификации, ><содержит ><ссылки ><на ><классы, ><т. ><е. ><на ><тот ><род ><сущностей, ><который ><хотел ><бы ><устранить ><номиналист.>

<ЛОГИКА ><ИЛИ ><МАТЕМАТИКА>

<В ><свете ><наших ><предыдущих ><рассуждений ><понятно, ><почему ><край><не ><трудно ><избежать ><произвольности ><при ><проведении ><границы ><между ><логикой ><и ><математикой. ><По ><мнению ><некоторых ><мыслителей, ><эту ><гра><ницу ><следует ><провести ><между ><логикой ><первого ><порядка ><и ><логикой ><второго ><порядка. ><Однако, ><как ><мы ><только ><что ><видели, ><это ><имеет ><то ><не><удобное ><следствие, ><что ><понятия ><корректности ><и ><импликации ><3>< ><оказыва><ются ><принадлежащими ><не ><к ><логике, ><а ><к ><математике. ><Фреге, ><Рассел ><и ><Уайтхед ><относили ><не ><только ><логику ><второго ><порядка, ><но ><даже ><и ><ло->

<><3>< ><Считается, ><что ><«А ><имплицирует ><В» ><только ><в ><том ><случае, ><если ><кор><ректно ><условное ><высказывание ><(Л ><з ><В), ><где ><А ><- ><антецедент, ><а ><В ><- ><консек-><вент >< ><Короче ><говоря, ><«вывод ><- ><это ><корректное ><условное ><высказывание»>

<ЛОГИКИ>< ><121>>

<<><гику ><более ><высоких ><порядков ><(множеств ><множеств ><множеств... ><мно><жеств ><индивидуальных ><объектов) ><к ><логике. ><Это ><решение ><равносиль><но ><утверждению, ><что ><не ><существует ><границы ><«между» ><математикой ><и ><логикой; ><математика ><составляет ><часть ><логики. ><Если ><кому-то ><по ><душе ><«промежуточная» ><позиция, ><то, ><возможно, ><рассматриваемую ><«границу» ><следует ><провести ><между ><логикой ><второго ><порядка ><и ><логи><кой ><третьего ><порядка. ><Однако, ><мы ><не ><будем ><особенно ><вдаваться ><в ><эту ><проблему. ><Обсуждаемые ><в ><этом ><параграфе ><философские ><вопросы ><за><трагивают ><как ><философию ><математики, ><так ><и ><философию ><логики, ><и ><мы ><не ><будем ><пытаться ><развести ><эти ><две ><дисциплины ><порознь.>

<НЕАДЕКВАТНОСТЬ ><НОМИНАЛИСТИЧЕСКОГО ><ЯЗЫКА>

<Под ><«номиналистическим ><языком» ><понимается ><формализованный ><язык, ><в ><котором ><переменные ><определены, ><в ><некотором ><подходящем ><смысле, ><на ><множестве ><индивидуальных ><объектов, ><а ><предикатные ><символы ><обозначают ><прилагательные ><и ><глаголы, ><применяемые ><к ><этим ><индивидуальным ><объектам ><(например, ><«тяжелый», ><«больше ><чем», ><«быть ><частью»). ><Эти ><прилагательные ><и ><глаголы ><необязательно ><соот><ветствуют ><наблюдаемым ><свойствам ><и ><отношениям, ><например, ><вполне ><допустим ><предикат ><«быть ><электроном», ><однако ><они ><не ><должны ><пред><полагать ><существования ><такие ><сущностей, ><как ><классы ><и ><числа.>

<Неоднократно ><отмечалось, ><что ><такой ><язык ><не ><годится ><для ><целей ><науки; ><если ><принять, ><что ><с ><философской ><точки ><зрения ><это ><единст><венный ><язык, ><который ><мы ><имеем ><право ><использовать, ><то ><это ><потре><бовало ><бы ><отказаться ><практически ><от ><всей ><математики. ><Но ><на ><деле ><ограничения ><номинализма ><разрушительны ><как ><для ><формальной, ><так ><и ><для ><эмпирической ><науки; ><мы ><должны ><были ><бы ><отказаться ><не ><только ><от ><«математики», ><но ><и ><от ><физики.>

<Чтобы ><понять ><это, ><рассмотрим ><наиболее ><известный ><пример ><фи><зического ><закона: ><закон ><всемирного ><тяготения ><Ньютона. ><(Для ><насто><ящего ><обсуждения ><неважно, ><что ><этот ><закон ><не ><является, ><строго ><гово><ря, ><истинным, ><формулировка ><более ><сложных ><и ><действительно ><истин><ных ><законов ><потребовала ><бы ><гораздо ><более ><сложный ><математический ><аппарат.) ><Закон ><Ньютона, ><как ><всем ><известно, ><утверждает, ><что ><любое ><тело ><а ><действует ><на ><любое ><другое ><тело ><с ><силой ><аЬ><. ><Эта ><сила f><><аЬ>< ><на><правлена ><в ><сторону ><а, ><и ><ее ><величина ><определяется ><формулой:>

F= ------------

d2<><>

<122 ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><><где ><- ><универсальная ><константа, ><М><а>< ><- ><масса ><тела ><а, ><М><ь>< ><- ><масса ><тела ><- ><расстоянием ><между ><а ><и ><Ь.>

<Придерживаясь ><в ><данном ><случае ><«реалистической» ><философии ><физики, ><я ><буду ><исходить ><из ><того, ><что ><одной ><из ><основных ><целей ><фи><зики ><является ><формулировка ><«истинных ><или ><приблизительно ><истин><ных» ><(по ><словам ><Ньютона) ><законов, ><а ><не ><просто ><установление ><связей ><между ><опытными ><данными ><или ><их ><предсказание. ><Также ><я ><буду ><пред><полагать, ><что ><приведенный ><выше ><закон ><правилен, ><хотя ><мы ><знаем ><се><годня, ><что ><он ><только ><приблизительно ><выражает ><гораздо ><более ><слож><ный ><закон. ><Оба ><эти ><допущения ><должны ><быть ><приемлемыми ><для ><но><миналиста. ><Мне ><кажется, ><в ><глубине ><души ><номиналисты ><должны ><быть ><материалистами, ><ибо ><в ><противном ><случае ><все ><их ><усилия ><непонятны. ><А ><материалисту ><не ><следует ><сомневаться ><в ><том, ><что ><материя ><подчиня><ется ><некоторым ><объективным ><законам ><и ><цель ><науки ><- ><сформулиро><вать ><эти ><законы. ><Мы ><допускаем, ><что ><закон ><Ньютона, ><строго ><говоря, ><истинен ><лишь ><для ><того, ><чтобы ><иметь ><перед ><собой ><пример ><физическо><го ><закона, ><формулируемого ><в ><математическом ><виде ><(поэтому ><он ><и ><не><выразим ><в ><номиналистическом ><языке) ><и ><понятного ><большинству ><лю><дей, ><чего, ><к ><сожалению, ><не ><скажешь ><о ><многих ><более ><сложных ><физи><ческих ><законах.>

<Итак, ><главное ><в ><нашем ><примере ><то, ><что ><закон ><Ньютона ><имеет ><содержание, ><которое, ><с ><одной ><стороны, ><совершенно ><ясно ><(закон ><гла><сит, ><что ><гравитационная ><«сила ><тяги» ><прямо ><пропорциональна ><массам ><тел ><и ><обратно ><пропорциональна ><квадрату ><расстояния ><между ><ними), ><а ><с ><другой ><стороны ><- ><выходит ><за ><пределы ><того, ><что ><можно ><выразить ><в ><номиналистическом ><языке. ><Даже ><если ><бы ><мир ><был ><проще, ><чем ><он ><есть, ><гравитация ><была ><бы ><единственной ><силой, ><а ><закон ><Ньютона ><вы><полнялся ><точно, ><все ><равно ><было ><бы ><невозможно ><«заниматься» ><физи><кой, ><используя ><номиналистический ><язык.>

<Однако ><как ><мы ><можем ><быть ><в ><этом ><уверены? ><Даже ><если ><ни ><один ><номиналист ><не ><предложил ><еще ><способа ><«перевода» ><утверждений, ><по><добных ><закону ><Ньютона, ><на ><номиналистический ><язык, ><как ><мы ><можем ><быть ><уверены ><в ><том, ><что ><такого ><способа ><не ><существует?>

<Рассмотрим ><не ><только ><сам ><закон ><гравитации, ><но ><и ><его ><очевидные ><предпосылки. ><В ><первую ><очередь, ><закон ><предполагает ><существование ><сил, ><расстояний ><и ><масс ><- ><возможно ><не ><как ><реальных ><сущностей, ><но ><как ><вещей, ><которые ><мы ><можем ><каким-то ><образом ><измерить, ><исполь><зуя ><действительные ><числа. ><Для ><использования ><этого ><закона, ><нам ><не><обходим ><язык, ><достаточно ><богатый ><для ><формулировки ><не ><только ><са><мого ><закона, ><но ><и ><утверждений ><вида ><«сила ><аЬ>< ><равна ><г, ><± ><г><2><», ><«масса ><М><г>< ><равна ><л, ><± ><г><2><», ><«расстояние ><равно ><г, ><± ><г><2><», ><где ><г><ь>< ><г><2>< ><- ><любые>

<ЛОГИКИ>< ><123>>

<<><рациональные ><числа. ><(Совсем ><не ><обязательно, ><хотя ><и ><возможно, ><иметь ><для ><каждого ><отдельного ><действительного ><числа ><свое ><имя, ><но ><у ><нас ><обязательно ><должна ><быть ><возможность ><выразить ><любые ><оценки ><физических ><величин ><в ><рациональных ><числах.)>

<Однако ><ни ><один ><номиналист ><еще ><не ><предложил ><способа ><перевода ><произвольно ><взятых ><утверждений, ><имеющих ><форму ><«расстояние ><равно ><г, ><± ><г><2><», ><на ><номиналистический ><язык. ><Более ><того, ><если ><мы ><не ><-сотим ><постулировать ><существования ><реально ><бесконечного ><множест><ва ><физических ><объектов, ><подобная ><«схема ><перевода» ><невозможна, ><о ><чем ><свидетельствует ><следующий ><простой ><аргумент: ><если ><множество ><индивидуальных ><объектов ><конечно, ><то ><в ><формализованном ><номинали><стическом ><языке ><имеется ><только ><конечное ><множество ><парных ><неэк><вивалентных ><утверждений. ><Иными ><словами, ><имеется ><конечное ><мно><жество ><утверждений >< ><2><, ><.... >< ><таких, ><что ><для ><произвольно ><взято><го ><утверждения ><или ><= ><5,, ><или ><= ><2><, ><или ><... ><= ><; ><более ><того ><(для ><соответствующего ><(') ><= ><5, ><логически ><следует ><из ><утверждения ><«число >< ><индивидуальных >< ><объектов >< ><равно >< >< >< ><*. >< >< ><Однако, >< >< ><если >< ><наш>

<><4>< ><Приведем ><набросок ><доказательства ><этого ><утверждения, ><предположим,

><к ><примеру, ><что ><- ><2, ><и ><введем ><(временно) ><символы ><*а* ><и ><*Ь» ><для ><двух, ><как

><мы ><полагаем, ><существующих ><индивидуальных ><объектов ><Перепишем ><каждое

><предложение ><(х) ><Рх ><в ><виде ><конъюнкции ><Ра ><РЬ, ><а ><каждое ><предложение ><(Зх)

><Рх ><- ><в ><виде ><дизъюнкции ><Таким ><образом, ><каждое ><предложение >

><нашем ><языка ><переведено ><в ><предложение ><без ><кванторов ><Существует ><толь

><ко ><конечное ><множество ><атомарных ><предложений ><(если ><предположить, ><что

><число ><исходных ><предикатов ><в ><языке ><конечно) ><Если ><число ><этих ><атомарных

><предложений ><равно ><п, ><то ><число ><функций ><истинности, ><которые ><можно ><для

><них ><записать, ><равно ><2-- ><. ><Можно ><легко ><сформулировать ><2^ ><предложений

><без ><кванторов, ><соответствующих ><этим ><22 ><функциям ><истинности; ><тогда ><лю

><бое ><предложение, ><построенное ><из ><данных ><п ><атомарных ><предложений ><с ><по

><мощью ><истинностно-функциональных ><связок, ><будет ><логически ><эквивалентно

><одному ><из ><этих ><предложений ><Т><и>< ><Т><ъ>< ><..,>< ><Т><2><2 ><. ><Более ><того, ><если ><= ><7". ><явля

><ется ><теоремой ><пропозиционального ><исчисления, ><то ><легко ><показать, ><что >

><(3 ><а, ><Ь) ><(а ><*? ><Т) ><истинно ><в ><любом ><двуэлементном ><универсуме, ><и, ><следова

><тельно, ><из ><утверждения ><«число ><индивидов ><равно ><двум» ><(это ><можно ><выразить

><символически ><как ><(3 ><а, ><Ь) ><(а ><* ><Ъ ><(х) ><(х ><= ><х ><= ><Ь)))) ><следует ><= ><(3 ><а, ><Ь)

><(а ><* ><Т). ><Итак, ><если ><мы ><принимаем, ><что ><= ><«(3 ><а, ><Ь) ><(а ><ф ><Г,)», ><2>< ><=

><«(3 ><(а ><* ><Т><2><)», ><..., ><то ><(1) ><при ><числе ><индивидов, ><равном ><двум, ><каждое

><предложение ><эквивалентно ><по ><своему ><истинностному ><значению ><одному ><из

><предложений >< ><2>< >< ><2><2 ><; ><и ><(2) ><предложение ><^ ><(для ><соответствую

><щего ><само ><следует ><из ><утверждения, ><что ><число ><индивидуальных ><объектов

><равно ><двум. ><Такое ><же ><рассуждение ><можно ><построить ><применительно ><к ><лю

><бому ><конечному ><числу ><индивидуальных ><объектов.

><16*>

<124 ><философия>>

<<><«язык ><физики» ><содержит ><имена ><для ><двух ><различных ><индивидуальных ><объектов, ><скажем, ><а ><и ><Ь, ><и ><мы ><можем ><формулировать ><утверждения ><«расстояние ><от ><а ><до ><равно ><одному ><метру ><± ><один ><сантиметр», ><«расстояние ><от ><а ><до ><А ><равно ><двум ><метрам ><± ><один ><сантиметр» ><и ><т. ><д., ><то ><ясно, ><что ><мы ><должны ><иметь ><бесконечный ><ряд ><парных ><неэквива><лентных ><утверждений. ><(Неэквивалентность ><не ><исчезает ><и ><при ><нали><чии ><посылки ><«число ><индивидов ><равно ><она ><не ><вытекает ><логически ><из ><посылки, ><что ><любые ><два ><из ><вышеприведенных ><утверждений ><имеют ><одно ><и ><то ><же ><истинностное ><значение.) ><Таким ><образом, ><любой ><«перевод» ><«языка ><физики» ><в ><«номиналистический ><язык» ><с ><необходи><мостью ><нарушает ><логические ><отношения: ><для ><любого ><можно ><найти ><два ><разных ><целых ><числа ><п, ><т ><таких, ><что ><ложная ><«теорема»:>

<«Если ><число ><индивидуальных ><объектов ><равно ><то ><«расстояние ><от ><а ><до ><Ь ><равно ><п ><метров ><± ><один ><сантиметр» ><«расстоянию ><от ><а ><до ><Ъ ><равно ><т ><метров ><± ><один ><сантиметр», ><->

<станет ><истинной ><теоремой ><логики, ><если ><мы ><принимаем ><указанную ><схему ><перевода. ><Итак, ><номиналистический ><язык, ><в ><принципе, ><не ><го><дится ><для ><физики>

<Его ><непригодность ><станет ><еще ><очевидней, ><если ><мы ><посмотрим ><на ><проблему ><в ><менее ><формалистическом ><ракурсе. ><Понятие ><«расстояние ><в ><метрах» ><крайне ><сложно. ><Что ><включается ><в ><предположение ><о ><том, ><что ><такую ><физическую ><величину ><как ><расстояние ><можно ><каким-то ><об><разом ><соотнести ><с ><действительными ><числами?>

<Согласно ><одному ><объяснению ><(которое ><я ><считаю ><верным), ><физи><ка ><обязывает ><нас ><признать ><существование ><таких ><сущностей, ><как ><«пространственные ><точки» ><(или ><пространственно-временные ><точки ><в ><релятивистской ><физике), ><хотя ><природа ><этих ><сущностей ><далеко ><не ><ясна. ><Физики ><часто ><утверждают, ><что ><пространственно-временные ><точки ><- ><это ><просто ><«события», ><хотя, ><очевидно, ><что ><это ><неверно. ><Карнап ><и ><Куайн ><предпочитают ><говорить ><о ><точках, ><как ><тройках ><дейст><вительных ><чисел ><(или ><тетрадах ><действительных ><чисел ><в ><случае ><про><странственно-временных ><точек); ><однако ><это ><представляется ><весьма ><неестественным, ><поскольку ><в ><интуитивном ><смысле ><идентичность ><(identity) ><пространственной ><точки ><не ><зависит ><от ><конкретной ><системы ><координат. ><Я ><предпочитаю ><думать ><о ><них ><как ><о ><свойствах ><некоторых ><событий ><(или ><частиц, ><если ><в ><физике ><есть ><точки-частицы); ><но ><давайте ><на ><некоторое ><время ><будем ><считать ><их ><элементарными ><сущностями, ><которые ><можно ><идентифицировать ><только ><с ><помощью ><имени ><«точки». ><С ><любой ><точки ><зрения ><между ><точками ><имеет ><место ><физически ><зна->

<ЛОГИКИ>< ><125>>

<<><чимое ><отношение ><С ><(х, ><у, ><которое ><можно ><назвать ><отношением ><конгруэнтности; ><на ><обычном ><языке ><это ><отношение ><можно ><выразить ><так: ><интервал ><~х ><у ><конгруэнтен ><интервалу ><~~zw. ><(Я ><сказал ><«с ><любой ><точки ><зрения», ><потому ><что ><существуют ><серьезные ><разногласия ><меж><ду ><философами: ><одни ><полагают, ><что ><это ><отношение ><можно ><опреде><лить ><операционально, ><а ><другие, ><к ><коим ><принадлежу ><и ><я, ><считают, ><что ><все ><так ><называемые ><операциональные ><определения ><далеко ><неточны ><и ><что ><рассматриваемое ><отношение ><следует ><признать ><исходным ><в ><физи><ческой ><теории). ><Возьмем ><две ><точки ><(скажем, ><конечные ><точки ><эталона ><метра ><в ><Париже ><в ><конкретный ><момент ><времени) ><и ><назовем ><их ><а><к>< ><и ><а><2><. ><Примем, ><что ><расстояние ><от ><а, ><до ><а><2><, ><по ><определению, ><равно ><единице. ><Тогда ><«расстояние» ><между ><любыми ><двумя ><точками ><х ><и ><у ><можно ><оп><ределить ><как ><некую ><числовую ><величину ><следующим ><образом:>

<Согласно ><определению, ><«расстояние ><от ><х ><до ><^ ><равно ><г» ><означает, ><что ><(х, ><у) ><= ><г, ><где ><- ><любая ><функция, ><удовлетворяющая ><следую><щим ><пяти ><условиям:>

<(ну, ><и) ><определена ><(и ><имеет ><в ><качестве ><значения ><неотрица

><тельные ><действительные ><числа) ><для ><любых ><точек >

<(w, ><= ><О, ><если ><и ><только ><если ><та ><же ><самая ><точка, ><что ><и >

<(w, ><= ><(w', ><если ><и ><только ><если ><выполняется ><отно

><шение ><С ><(да, ><и.', >< >< ><(т. ><е. ><если ><и ><только ><если ><интервал ><конг

><руэнтен ><интервалу >

<Если ><и ><- ><колинеарные ><точки, ><и ><находится ><между >

><и ><и, ><то ><(w, ><и) ><= ><(ш, ><+ ><(v, ><и). >< ><(Понятия >< ><«колинеарный» ><и

><«между» >< ><можно ><или ><определить ><стандартным ><способом >< ><в ><терминах

><отношения ><С, ><или ><взять ><как ><исходные ><понятия ><физической ><геомет

><рии.)>

<(5)/(а„>< ><а><2><)= ><1.>

<Можно ><показать, ><что ><существует ><только ><одна ><функция, ><удовлет><воряющая ><условиям ><(1)><-><(5) ><6><. ><Стало ><быть, ><содержание ><вышеприве><денного ><определения ><можно ><выразить ><так: ><расстояние ><- ><это ><значе><ние ><единственной ><функции, ><удовлетворяющей ><условиям ><(1)><-><(5).>

<><6>< ><Строго ><говоря, ><это ><истинно ><только, ><если ><является ><непрерывной ><функцией, ><отображающей ><пространственные ><точки ><на ><действительные ><чис><ла. ><Однако ><это ><требование ><непрерывности ><можно ><соблюсти, ><даже ><если ><мы ><не ><предполагаем, ><что ><у ><нас ><уже ><есть ><метрика, ><применимая ><к ><пространствен><ным ><точкам. ><Я ><опустил ><этот ><момент ><в ><настоящей ><статье ><в ><целях ><упрощения ><изложения>

<126 ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><Назовем ><то, ><что ><было ><описано ><выше, ><«нумеризацией» ><(numerica-><6>< ><физической ><величины ><расстояния. ><В ><контексте ><нашего ><рас><смотрения ><главным ><является ><следующее: ><даже ><если ><мы ><рассматрива><ем ><«точки» ><как ><отдельные ><индивидуальные ><объекты, ><а ><отношение ><«С ><{х, ><у, ><- ><как ><исходное, ><мы ><все ><равно ><не ><сможем ><объяснить ><нумеризацию ><расстояния ><без ><помощи ><квантификации ><по ><функциям. ><(Конечно, ><мы ><можем ><уйти ><от ><проблемы, ><отождествив ><точки ><с ><трой><ками ><действительных ><чисел ><и ><воспользовавшись ><теоремой ><Пифагора, ><чтобы ><сформулировать ><определение ><расстояния, ><но ><тогда ><мы ><или ><должны ><были ><бы ><проанализировать ><отношение ><«объект ><О ><находится ><в ><точке ><Р», ><или ><должны ><счесть ><нумеризацию ><совершенно ><загадочной ><и ><необъяснимой ><процедурой.)>

<Короче ><говоря, ><даже ><утверждение ><вида ><«расстояние ><от ><а ><до ><Ь ><равно ><г><х>< ><± ><г><2><», ><где ><г><{>< ><и ><г><2>< ><- ><переменные, ><определенные ><на ><множест><ве ><рациональных ><чисел, ><нельзя ><объяснить ><без ><использования ><поня><тия ><функции, ><отображающей ><точки ><на ><действительные ><числа ><или, ><по ><крайней ><мере, ><на ><рациональные ><числа. ><Если ><для ><любых ><констант ><г, ><и ><г><2>< ><можно ><сформулировать ><эквивалентное ><утверждение ><с ><квантифика-><цией ><только ><по ><«точкам», ><то, ><чтобы ><объяснить ><значение ><предиката, ><когда ><он ><применяется ><к ><переменным ><л, ><и ><г><2><, ><необходимы ><понятия ><функции ><или ><множества. ><И ><даже ><обычное ><решение, ><как ><мы ><только ><что ><видели, ><предполагает ><функции, ><отображающие ><точки ><на ><действи><тельные ><числа.>

<Одному ><и ><тому ><же ><человеку ><нетрудно ><в ><одном ><контексте ><при><держиваться ><номиналистических ><убеждений, ><а ><в ><другом ><- ><говорить ><о ><расстоянии ><как ><о ><чем-то ><определенном ><(и ><обладающем ><числовым ><значением) ><для ><любых ><произвольно ><взятых ><точек ><х ><и ><у. ><Однако, ><как ><мы ><только ><что ><видели, ><это ><непоследовательно. ><Если ><нумеризация ><физических ><величин ><имеет ><какой-то ><смысл, ><то ><мы ><должны ><принять ><такие ><понятия, ><как ><функция ><и ><действительное ><число; ><но ><именно ><эти ><понятия ><номиналисты ><и ><отвергают. ><Если ><этим ><понятиям ><ничего ><не ><соответствует, ><то ><что ><же ><тогда ><говорит ><закон ><гравитации? ><Этот ><за><кон ><не ><будет ><иметь ><никакого ><смысла, ><если ><мы ><не ><сможем ><объяснить>

<><6>< ><В ><любом ><тексте ><по ><философии ><науки ><вы ><найдете ><термин ><«измерение», ><а ><не ><«нумеризация» ><Я ><выбрал ><этот ><варварский ><термин, ><и-бо ><хотел ><под><черкнуть, ><что ><проблема ><состоит ><не ><в ><том, ><чтобы ><измерить ><что-либо, ><а ><в ><том, ><чтобы ><определить ><нечто, ><а ><именно ><- ><определить ><соответствие ><между ><парами ><точек ><и ><числами ><Термин ><«измерение» ><- ><это ><наследие ><времен ><опе-><рационализма, ><когда ><предполагалось, ><что ><измерение ><предшествует ><определе><нию, ><а ><не ><наоборот.>

<ЛОГИКИ>< ><127>>

<<><переменные, ><значениями ><которых ><являются ><произвольно ><взятые ><рас><стояния ><(а ><также ><силы ><и ><массы).>

<ПРЕДИКАТИВНАЯ ><ИЛИ ><НЕПРЕДИКАТИВНАЯ ><КОНЦЕПЦИИ ><«МНОЖЕСТВА»>

<Множество ><{х, ><у), ><содержащее ><только ><два ><элемента ><х, ><у ><называ><ется ><неупорядоченной ><парой ><х ><и ><у. ><На ><основе ><неупорядоченных ><пар ><можно ><различными ><способами ><определить ><упорядоченные ><пары. ><Наиболее ><естественный, ><хотя ><и ><не ><самым ><привычный, ><способ ><состо><ит ><в ><следующем: ><Возьмем ><в ><качестве ><«маркеров» ><два ><объекта ><а ><и ><Ь. ><Определим ><упорядоченную ><пару ><х ><и ><как ><множество ><{{х, ><а), ><{у, ><Ь}}, ><т. ><е. ><как ><неупорядоченную ><пару, ><элементами ><которой ><являются ><не><упорядоченные ><пары ><{х, ><а} ><и ><{у, ><Ь). ><Введем ><для ><этой ><упорядоченной ><пары ><обозначение ><<х, ><у>, ><т. ><е. ><по ><определению ><<х, ><у> ><есть ><{{х, ><а), ><{у, ><Ь}}. ><Теперь ><легко ><понять, ><что ><для ><любых ><х, ><у, ><и, >

<<х, ><у>=<и, >,>

<если ><и ><только ><если ><х ><= ><и ><и ><у ><= ><Таким ><образом, ><две ><«упорядочен><ные ><пары» ><тождественны ><только ><в ><том ><случае, ><если ><они ><состоят ><из ><одних ><и ><тех ><же ><элементов ><и ><эти ><элементы ><одинаково ><упорядочены ><- ><только ><это ><и ><требуется ><для ><определения ><упорядоченной ><пары.>

<В ><математике ><двуместное ><отношение ><- ><просто ><множество ><упо><рядоченных ><пар. ><Поскольку ><«упорядоченная ><пара» ><была ><только ><что ><определена ><на ><основе ><«неупорядоченной ><пары», ><а ><«неупорядоченная ><пара» ><- ><это ><просто ><множество, ><то ><отсюда ><следует, ><что ><«отношение» ><можно ><определить ><на ><основе ><одного ><исходного ><понятия ><множества. ><Пусть ><отношение ><такое, ><что ><для ><всех ><и, ><у>

<если ><<и, > ><и ><<и, ><у> ><е ><то ><= ><у,>

<тогда ><это ><отношение ><называется ><«функцией». ><Поскольку ><функция ><была ><только ><что ><определена ><на ><основе ><понятия ><отношения ><(и ><поня><тия ><« ><= ><«, ><которое ><мы ><считаем ><принадлежащим ><к ><элементарной ><ло><гике), ><то ><отсюда ><следует, ><что ><и ><функция ><определяется ><на ><основе ><по><нятия ><множества.>

<Хорошо ><известно, ><что ><натуральные ><числа ><0, ><1, ><2, ><3, ><... ><можно ><разными ><способами ><определить ><на ><основе ><понятия ><множества. ><На><пример, ><можно ><определить ><0 ><как ><пустое ><множество, ><1 ><- ><как ><множе><ством ><{0}, ><2 ><- ><как ><{0, ><1}, ><3 ><- ><как ><{0, ><1, ><2} ><и ><т. ><д. ><Кроме ><того, ><и ><все ><элементарные ><операции ><«сложить», ><«умножить» ><и ><т. ><п., ><можно ><опре->

<128 ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><делить ><на ><основе ><понятия ><множества. ><Рациональные ><числа ><естест><венным ><образом ><определяются ><как ><упорядоченные ><пары ><натуральных ><чисел, ><не ><имеющих ><общего ><делителя ><(при ><этом ><второй ><член ><упорядо><ченной ><пары ><не ><равен ><нулю); ><действительные ><числа ><можно, ><напри><мер, ><определить ><как ><ряды ><рациональных ><чисел, ><где ><«ряд» ><- ><функ><ция, ><областью ><определения ><которой ><являются ><натуральные ><числа. ><Таким ><образом, ><все ><«объекты» ><чистой ><математики ><можно ><построить, ><опираясь ><на ><понятие ><множества, ><и ><именно ><так ><предпочитают ><делать ><все ><современные ><математики.>

<Таким ><образом, ><если ><в ><предыдущем ><разделе ><мы ><говорили, ><что ><физика ><не ><может ><обойтись ><без ><ссылок ><на ><функции ><и ><действительные ><числа, ><то ><теперь ><мы ><можем ><просто ><сказать, ><что ><физике ><необходимо ><лишь ><такое ><понятие ><как ><множество, ><поскольку ><понятия ><числа ><и ><функции ><можно ><построить ><на ><основе ><понятия ><множества. ><В ><настоя><щем ><разделе ><мы ><дадим ><беглый ><обзор ><понятия ><множества.>

<Наиболее ><известная ><трудность ><в ><отношении ><понятия ><множества ><такова. ><Предположим, ><что:>

<Множества ><- ><это ><самостоятельные ><сущности ><(т. ><е. ><сущно

><сти, ><по ><которым ><мы ><можем ><квантифицировать ><7><);>

<Если ><0 ><- ><любое ><точно ><определенное ><условие, ><то ><существу

><ет ><множество ><всех ><сущностей, ><удовлетворяющих ><условию ><0.>

<Тогда ><(допуская ><также, ><что ><условие ><«~ ><х ><е ><х» ><точно ><определено) ><мы ><выводим, ><что ><существует ><множество ><всех ><множеств ><х ><таких, ><что ><х ><не ><принадлежит ><к ><х. ><Пусть ><- ><такое ><множество, ><тогда:>

<(3)>< ><(х) ><(х ><е ><у ><= ><~ ><х ><е ><х).>

<Затем, ><подставляя ><у ><вместо ><х, ><получаем>

<(4) ><у ><е ><у ><= ><~ ><у ><е ><у,>

<а ><это ><- ><противоречие!>

<Очевидно, ><что ><одно ><из ><наших ><допущений ><было ><ложным. ><Какое ><же? ><Мы ><могли ><бы ><сказать, ><что ><«~ ><х ><е ><х» ><не ><является ><точно ><опреде><ленным ><условием. ><Однако, ><если ><х ><е ><у ><точно ><определенное ><отноше><ние ><для ><любых ><произвольно ><выбранных ><множеств ><х ><и ><у, ><то ><пред><ставляется, ><что ><ихех,>< ><и~хех>< ><должны ><быть ><точно ><определены ><(в ><том ><смысле, ><что ><они ><имеют ><определенное ><истинностное ><значение) ><для ><любого ><множества ><х. ><Отказ ><считать, ><что ><х ><е ><у ><- ><точно ><опреде->

<><7>< ><«Квантифицировать ><по» ><множествам ><значит ><использовать ><такие ><выраже><ния, ><как ><«для ><каждого ><множества ><х» ><и ><«существует ><множество ><х ><такое, ><что»>

<ЛОГИКИ>< ><129>>

<<><ленное ><отношение ><или ><что ><множества ><- ><это ><самостоятельные ><сущ><ности, ><означал ><бы ><отказ ><от ><самой ><теории ><множества. ><В ><таком ><случае ><единственная ><альтернатива ><- ><это ><отказаться ><от ><(или, ><по ><крайней ><мере, ><ограничить) ><условие ><(2), ><которое ><сильно ><расходится ><с ><нашими ><интуициями.>

<Одним ><из ><способов ><разрешить ><эту ><трудность ><является ><так ><назы><ваемая ><теория ><типов. ><Согласно ><этой ><теории, ><«х ><е ><у» ><точно ><опреде><лено, ><если ><и ><только ><если ><х ><к ><у ><относятся ><к ><соответствующим ><типам; ><при ><этом ><считается, ><что ><индивидуальные ><объекты ><принадлежат ><к ><ти><пу ><0, ><множества ><индивидуальных ><объектов ><- ><к ><типу ><1, ><множества ><множеств ><индивидуальных ><объектов ><к ><типу ><2 ><и ><т. ><д. ><Согласно ><этой ><теории, ><выражение ><«~ ><х ><е ><х» ><нельзя ><даже ><считать ><грамматически ><правильным, ><поскольку ><ни ><об ><одном ><множестве ><мы ><не ><можем ><ска><зать, ><что ><оно ><является ><или ><не ><является ><собственным ><элементом. ><Можно ><говорить ><о ><том, ><принадлежит ><ли ><множество ><к ><любому ><мно><жеству ><более ><высокого ><типа, ><но ><нельзя ><говорить ><о ><том, ><принадлежит ><ли ><множество ><к ><самому ><себе ><(или ><к ><любому ><другому ><множеству, ><не ><относящемуся ><к ><более ><высокому ><типу).>

<Пусть ><- ><некоторое ><отношение ><между ><индивидуальными ><объ><ектами. ><Назовем ><-цепью ><такое ><множество ><а, ><что ><для ><любого ><х, ><ес><ли ><х ><е ><а, ><то ><существует ><хотя ><бы ><один ><у ><такой, ><что ><и ><е ><а. ><До><пустим, ><имеется ><некоторая ><-цепь, ><содержащая ><индивидуальный ><объект ><Тогда ><запишем:>

<(5) ><(3 ><а) ><(а ><есть ><-цепь. ><е ><а),>

<где ><«а ><есть ><-цепь» ><является ><краткой ><записью ><для ><«(х) ><(х ><е ><(3 ><}) ><(yea->< >

<Пусть ><р ><- ><множество ><всех ><таких, ><что ><некоторая ><-цепь ><со><держит ><Это ><множество ><совершенно ><законно ><с ><точки ><зрения ><тео><рии ><типов, ><и ><его ><принимает ><большинство ><математиков. ><Однако ><от><дельные ><математики ><и ><философы ><возражают ><против ><идеи ><такого ><множества. ><По ><их ><мнению, ><определение ><множества ><как ><множества ><всех ><таких, ><что ><существует ><-цепь, ><содержащая ><«порочно», ><по><скольку ><«совокупность ><(totality), ><в ><терминах ><которой ><определяется ><т. ><е. ><совокупность ><а, ><содержащая ><все ><-цепи ><могла ><бы ><содержать ><и ><само ><множество ><Д ><Как ><правило, ><эти ><математики ><и ><философы ><за><прещают ><определять ><множество ><в ><терминах ><«совокупности», ><если ><только ><мы ><не ><удостоверились, ><что ><эта ><совокупность ><не ><способна ><со><держать ><это ><множество ><или ><любое ><другое, ><определенное ><с ><помощью>

<7-6996>

<130 ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><этого ><первого ><множества. ><Конечно, ><в ><этом ><много ><неясного. >< ><Однако ><представляет ><интерес ><мотив, ><обусловивший ><такое ><решение.>

<Предположим, ><я ><вообще ><не ><понимаю ><слово ><«множество» ><и, ><по ><существу, ><использую ><только ><некоторый ><номиналистический ><язык ><Однажды ><Я ><прихожу ><к ><выводу, ><что ><знаю ><два ><понятия, ><которые ><не ><являются ><номиналистическими ><или, ><во ><всяком ><случае, ><имеют ><спор><ный ><номиналистический ><статус, ><а ><именно: ><понятия ><«формула» ><и ><«ис><тина». ><На ><основе ><этих ><понятий ><я ><могу ><ввести ><очень ><слабое ><понятие ><множества ><- ><определяя ><множества ><как ><формулы ><моего ><номиналист><ического ><языка, ><содержащие ><только ><одну ><свободную ><переменную ><х; ><например, ><я ><определяю ><множество ><красных ><вещей ><как ><формулу ><«Красное ><(х)». ><Понятие ><«быть ><элементом» ><я ><объясняю ><следующим ><образом: ><если ><- ><индивидуальный ><объект, ><а ><а ><- ><«множество» ><(т. ><е. ><формула ><с ><одной ><свободной ><переменной ><<^>>), ><то ><«><е ><а» ><означает, ><что ><а ><истинно ><относительно ><у; ><при ><этом ><формула ><0 ><(х) ><считается ><истинной ><относительно ><индивидуального ><объекта ><только ><в ><том ><случае, ><если ><она ><истинна, ><когда ><х ><интерпретируется ><как ><имя ><для ><у. ><Итак, ><если >< ><а ><- ><формула ><«Красное ><(х)», ><то ><мы ><имеем:>

< ><если ><и ><только ><если ><а ><истинно ><относительно ><у,>

<т. ><е. ><если ><и ><только ><если ><«Красное ><(х)» ><истинно ><относительно ><у,>

<т. ><е. ><если ><и ><только ><если ><есть ><красное.>

<Поэтому ><«Красное ><(х)» ><оказывается >< ><«множеством ><всех ><красных ><ве><щей», ><как ><это ><и ><должно ><быть.>

<Это ><понятие ><множества ><я ><называю ><«слабым», ><поскольку ><оно ><за><прещает ><говорить ><обо ><всех ><множествах ><индивидуальных ><объектов, ><а ><тем ><более ><- ><о ><множествах, ><имеющих ><тип ><выше, ><чем ><1; ><конечно, ><можно ><говорить ><обо ><всех ><формулах, ><но ><это ><означает ><лишь ><- ><гово><рить ><обо ><всех ><множествах ><индивидуальных ><объектов, ><определимых ><в ><языке ><Если ><в ><будут ><введены ><новые ><исходные ><выражения, ><то ><в ><целом ><совокупность ><множеств, ><как ><они ><были ><только ><что ><определены, ><увеличится. ><Однако, ><можно ><повторить ><вышеописанную ><процедуру. ><Пусть ><- ><язык, ><получаемый ><из ><если ><разрешить ><квантификацию ><по ><всем ><множествам ><индивидуальных ><объектов, ><определимых ><в ><- ><язык, ><получаемый ><из ><если ><разрешить ><квантификацию ><по ><всем ><множествам ><индивидуальных ><объектов, ><определимых ><в ><и ><т. ><д. ><Тогда ><все ><эти ><множества ><индивидуальных ><объектов, ><определимых ><в ><... ><представляют ><собой ><примеры ><«предикативных» ><мно><жеств: ><каждое ><из ><этих ><множеств ><предполагает ><«совокупность», ><кото><рая >< ><определена >< >< ><«ранее» >< >< ><(начиная >< ><с >< ><совокупности >< ><индивидуальных>

<ЛОГИКИ>< ><131>>

<<><объектов), ><но ><которая ><не ><предполагает ><самого ><этого ><множества. ><(Можно ><также ><ввести ><предикативные ><множества ><более ><высокого ><ти><па ><на ><основе ><понятия ><формулы ><о ><формулах, ><но ><мы ><не ><будем ><этого ><делать.) ><Для ><нас ><здесь ><важно ><подчеркнуть ><следующее: ><предикатив><ное ><понятие ><множества ><можно ><разъяснить ><применительно ><к ><любому ><языку ><из ><серии ><..., ><используя ><понятие ><квантификации, ><применимое ><только ><к ><тем ><множествам, ><которые ><были ><ранее ><опреде><ленны ><в ><указанной ><серии, ><и ><в ><целом ><эту ><терминологию ><- ><«множест><ва, ><определимые ><в ><«множества, ><определимые ><в ><и ><т. ><д. ><- ><можно ><считать, ><если ><угодно, ><просто ><8><, ><который ><можно ><объ><яснить ><на ><основе ><понятий ><формулы ><и ><истины.>

<Если ><в ><противовес ><сказанному ><ранее ><мы ><продолжаем ><говорить ><не ><только ><обо ><всех ><множествах, ><определимых ><в ><некотором ><языке ><се><рии ><Л/' ><Л/><'"...,>< ><но ><и ><обо ><всех ><множествах ><индивидуальных ><объ><ектов ><как ><о ><точно ><определенной ><совокупности, ><то ><считается, ><что ><мы ><используем ><непредикативное ><понятие ><множества.>

<НАСКОЛЬКО ><ТЕОРИЯ ><МНОЖЕСТВ ><ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ><НЕОБХОДИМА ><НАУКЕ?>

<Ранее ><мы ><утверждали, ><что ><понятие ><множества ><(или ><некоторое ><эквивалентное ><понятие, ><например, ><понятие ><функции) ><необходимо ><науке. ><Однако, ><теперь ><мы ><должны ><спросить: ><какое ><понятие ><множест><ва ><необходимо ><науке ><- ><«строгое» ><(непредикативное) ><или ><только ><«слабое» ><(предикативное)? ><Если ><мы ><действительно ><хотим ><разобрать><ся ><с ><номинализмом ><и ><реализмом, ><то ><нам ><следует ><допустить ><в ><качест><ве ><альтернатив ><не ><только ><(а) ><номинализм, ><но ><и ><(б) ><принятие ><общего ><понятия ><«все ><множества» ><(или ><даже ><«все ><множества ><индивидуальных ><объектов»). ><Если ><у ><нас ><есть ><склонность ><к ><номинализму, ><то ><мы ><по><стараемся ><сделать ><свои ><неноминалистические ><обязательства ><как ><можно ><более ><слабыми, ><а ><потому ><возможность ><ограничить ><эти ><обяза><тельства ><двумя ><понятиями ><истины ><и ><формулы ><представляется ><весьма ><желательной. ><Некоторые ><номиналисты ><считают ><истину ><понятием, ><на ><которое ><они ><в ><любом ><случае ><имеют ><право; ><а ><формулы ><(трактуемые ><как ><типы ><формул, ><представленные ><реальными ><записями), ><если ><и ><яв><ляются ><«"абстрактными" ><сущностями», ><то ><все-таки ><относительно ><яс><ными.>

<В ><случае ><чистой ><математики ><можно ><было ><бы ><ответить ><следую><щее: ><определенную ><часть ><математики ><можно ><разрабатывать, ><исполь->

<><8>< ><Речевой ><оборот ><(франц.) ><- ><Прим. ><перев.>

<17'>

<132>< ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><зуя ><только ><предикативную ><теорию ><множеств, ><при ><условии, ><что ><до><пускаются ><предикативные ><множества ><других, ><не ><только ><физических, ><объектов. ><Например, ><если ><мы ><рассматриваем ><формулы ><языка ><в ><ка><честве ><индивидуальных ><объектов ><для ><некоторого ><другого ><языка ><М, ><а ><затем ><строим ><серию ><языков ><М, ><М', ><М", ><... ><по ><вышеописанной ><схеме, ><то ><мы ><можем, ><по ><крайней ><мере, ><сформулировать ><арифметику ><рацио><нальных ><чисел ><и ><элементарную ><теорию ><функций ><для ><рациональных ><чисел. ><(Однако, ><«для ><начала» ><нам ><необходима ><некоторая ><бесконечная ><область ><индивидуальных ><объектов; ><вот ><почему ><мы ><вынуждены ><рас><сматривать ><абстрактные ><объекты, ><например, ><формулы, ><в ><качестве ><индивидуальных ><объектов, ><если ><не ><хотим ><постулировать ><сущест><вование ><реально ><бесконечной ><совокупности ><физических ><объектов.) ><К ><сожалению, ><этим ><способом ><нельзя ><получить ><никакой ><удовлетвори><тельной ><теории ><действительных ><чисел ><и ><теории ><функций ><для ><дейст><вительных ><чисел; ><по ><этой ><причине ><большинство ><математиков ><отвер><гают ><предикативную ><теорию.>

<Возвратимся ><к ><логике, ><к ><понятию ><«корректности». ><Выше ><мы ><уже ><отмечали, ><что ><понятие ><корректности, ><а ><именно ><- ><«истинности ><всех ><результатов ><подстановок» ><(скажем, ><в ><М), ><можно, ><по ><сути ><дела, ><опре><делить ><в ><терминах ><предикативной ><теории ><множества ><(т. ><е. ><на ><основе ><понятий ><истины ><и ><квантификации ><по ><формулам). ><Мы ><также ><видели, ><что ><для ><более ><удовлетворительного ><понятия ><корректности ><требуется ><использование ><выражений ><«все ><множества», ><т. ><е. ><понятия ><непреди><кативной ><теории ><множества.>

<И, ><наконец, ><возвращаясь ><к ><физике, ><мы ><видим ><следующее. ><На ><первый ><взгляд, ><закон ><всемирного ><тяготения ><(здесь ><предполагается, ><что ><это ><единственный ><закон ><физики) ><требует ><квантификации ><по ><дей><ствительным ><числам. ><Однако, ><этот ><закон ><эквивалентен ><утвержде><нию, ><что ><для ><каждого ><рационального ><числа ><е ><и ><любых ><рациональных ><чисел ><т><и>< ><т><2><, ><существует ><рациональное ><число ><Этакое, ><что>

<если ><М><а>< ><= ><т><{>< ><± ><5, ><М><ь>< ><= ><т><2>< ><± ><8, ><= >< ><± ><6, ><то>

<{>< ><т><г

><=>< ><± ><е>

<»>

<а ><это ><утверждение ><предполагает ><квантификацию ><только ><по ><рацио><нальным ><числам. ><Хотя ><(!) ><гравитационная ><постоянная ><может ><и ><не ><быть ><рациональным ><числом, ><но ><я ><не ><буду ><касаться ><здесь ><этой ><про->

<ЛОГИКИ>< ><133>>

<<><блемы.) ><Таким ><образом, ><язык, ><допускающий ><квантификацию ><только ><по ><рациональным ><числам ><и ><позволяющий ><измерять ><расстояния, ><мас><сы, ><силы ><и ><т. ><п. ><только ><с ><рациональной ><аппроксимацией ><(«масса ><а ><равна ><± ><о»), ><в ><принципе, ><является ><достаточно ><строгим, ><по ><край><ней ><мере, ><для ><формулировки ><закона ><всемирного ><тяготения.>

<Рациональные ><числа ><можно ><легко ><определить, ><используя ><только ><аредикативную ><теорию ><множеств. ><Этой ><теории ><множеств ><также ><дос><таточно ><для ><определения ><«кардинального ><числа ><где ><- ><любое ><определимое ><конечное ><множество ><физических ><объектов. ><Осущест><вить ><«нумеризацию» ><таких ><физических ><величин, ><как ><расстояние, ><си><ла, ><масса, ><используя ><рациональные ><аппроксимации ><и ><предикативные ><множества^ ><достаточно ><сложно, ><но ><вполне ><возможно. ><Итак, ><при ><ис-><ользовании ><только ><предикативной ><теории ><множеств ><физика ><оказы><вается ><возможным ><(но ><сложным ><и ><неудобным) ><занятием.>

<Подведем ><итоги. ><Теоретико-множественные ><«нужды» ><физики ><удивительно ><совпадают ><с ><теоретико-множественными ><«нуждами» ><чистой ><логики. ><Обеим ><этим ><дисциплинам ><для ><их ><функционирования ><нужна ><какая-то ><теория ><множества. ><Обе ><дисциплины ><могут ><«сущест><вовать», ><но ><с ><трудом, ><имея ><в ><качестве ><«скудной ><диеты» ><только ><пре-><шкативные ><множества, ><но ><их ><существование ><становится ><гораздо ><привлекательней ><при ><«обильной ><диете» ><в ><виде ><непредикативных ><множеств. ><Поскольку ><необходимость ><квантификации ><по ><множествам ><-шляется ><аргументом ><в ><пользу ><их ><существования ><(в ><следующем ><раз><деле ><мы ><обсудим, ><почему ><это ><так), ><поэтому ><мы ><можем ><сказать, ><что ><это ><строгий ><аргумент ><в ><пользу ><существования, ><по ><крайней ><мере, ><предикативных ><множеств ><и ><достаточно, ><хотя ><и ><не ><столь ><строгий, ><ар><гумент ><в ><пользу ><существования ><непредикативных ><множеств ><Однако, ><обращаясь ><к ><более ><высоким ><уровням ><теории ><множества ><- ><множест><вам ><множеств ><множеств ><множеств, ><мы ><сталкиваемся ><с ><понятиями, ><в ><которых ><сегодня ><нуждается ><только ><чистая ><математика. ><Таким ><обра><зом, ><развиваемый ><в ><настоящем ><разделе ><аргумент ><в ><пользу ><«реализ><ма» ><имеет ><ограниченный ><характер: ><по ><крайней ><мере, ><множества ><предметов, ><действительные ><числа ><и ><функции, ><отображающие ><различ><ного ><рода ><предметы ><на ><действительные ><числа, ><следует ><признать ><со><ставляющими ><на ><сегодня ><необходимую ><(или ><практически ><необходи><мую) ><структуру ><как ><физической ><науки, ><так ><и ><логики, ><и ><в ><этом ><каче><стве ><мы ><обязаны ><признавать ><их ><существование. ><Но ><множества ><очень ><высокого ><типа ><или ><очень ><большой ><мощности ><(например, ><большей ><мощности ><континуума) ><следует ><сегодня ><изучать ><с ><оговоркой ><«если». ><Когда-нибудь ><они ><могут ><стать ><такими ><же ><необходимыми ><для ><форму-><шровки ><физических ><законов, ><какими ><сегодня ><являются, ><скажем, ><ра->

<><134>< ><ФИЛОСОФИЯ>>

<<><циональные ><числа, ><и ><тогда ><сомнения ><в ><их ><«существовании» ><будут ><столь ><же ><тщетны, ><как ><и ><крайний ><номинализм ><сегодня. ><Но ><на ><сего><дняшний ><день ><мы ><должны ><видеть ><в ><них ><то, ><чем ><они ><являются, ><а ><именно ><- ><умозрительными ><и ><дерзкими ><сооружениями ><над ><основным ><математическим ><аппаратом ><науки.>

<. ><НЕОБХОДИМОСТЬ ><КАК ><АРГУМЕНТ ><В ><ПОЛЬЗУ ><РЕАЛИЗМА>

<До ><сих ><пор ><я ><строил ><свой ><аргумент ><в ><пользу ><реализма ><примерно ><по ><такой ><схеме: ><квантификация ><по ><математическим ><сущностям ><необ><ходима ><как ><физической, ><так ><и ><формальной ><наукам, ><следовательно ><мы ><должны ><принять ><квантификацию, ><а ><это ><обязывает ><нас ><признать ><су><ществование ><упомянутых ><математических ><сущностей. ><Конечно, ><этот ><аргумент ><идет ><от ><Куайна, ><который ><в ><течение ><многих ><лет ><подчеркивал ><необходимость ><квантификации ><по ><математическим ><сущностям ><и ><ус><матривал ><интеллектуальную ><нечестность ><в ><отрицании ><существования ><того, ><что ><постоянно ><предполагается ><в ><рассуждениях. ><Однако ><указан><ные ><аргументы ><поднимают ><ряд ><вопросов; ><краткому ><обсуждению ><не><которых ><из ><них ><я ><и ><посвящу ><этот ><раздел.>

<Один ><из ><этих ><вопросов ><касается, ><например, ><осмысленности ><та><ких ><предложений, ><как ><«существуют ><числа», ><«существуют ><множест><ва», ><«существуют ><функции, ><отображающие ><пространственно-времен><ные ><точки ><на ><действительные ><числа» ><и ><т. ><п. ><Если ><это ><не ><подлинные ><утверждения, ><а, ><так ><сказать, ><псевдо-утверждения, ><то ><никакими ><ар><гументами ><их ><нельзя ><будет ><обосновать ><- ><ссылками ><на ><«необходимость» ><указанных ><сущностей ><для ><науки.>

<Но ><какие ><есть ><основания ><считать ><предложения ><«существуют ><числа», ><«существуют ><множества» ><и ><т. ><п. ><неосмысленными? ><Можно ><предположить, ><что ><с ><этими ><«утверждениями» ><должно ><быть ><что-то ><не ><так, ><поскольку ><мы ><сталкиваемся ><с ><ними ><только ><в ><философии. ><Но, ><в ><этом ><способе ><рассуждения ><есть ><что-то ><крайне ><сомнительное, ><не><смотря ><на ><всю ><его ><популярность ><в ><наши ><дни. ><Одно ><дело ><показать, ><что ><выражения, ><в ><которых ><формулируется ><определенная ><философ><ская ><проблема ><с ><лингвистической ><точки ><зрения ><девиантны ><(deviant). ><Действительно, ><если ><нельзя ><найти ><никакого ><способа ><сформулиро><вать ><предлагаемую ><«проблему», ><который ><не ><искажал ><бы ><языка, ><то ><оправданно ><заподозрить ><«проблему» ><в ><ее ><совершенной ><неясности, ><но ><даже ><и ><в ><этом ><случае ><этого ><нельзя ><утверждать ><с ><достоверностью, ><потому ><что ><девиантные ><в ><лингвистическом ><плане ><выражения ><необя><зательно ><буквально ><лишены ><смысла ><(unintelligible). ><Однако ><даже ><ес><ли ><ключевые ><термины ><предполагаемой ><философской ><проблемы ><в ><лин->

<ЛОГИКИ>< ><135>>

<<><теистическом ><плане ><девиантны ><(или, ><выражаясь ><неформальным ><язы><ком, ><«странны», ><«сомнительны» ><и ><т. ><п.), ><то ><это ><отнюдь ><не ><доказывает ><неподлинность ><этой ><проблемы, ><тем ><более, ><если ><эта ><«девиантность» ><(или ><«странность», ><«подозрительность» ><и ><т. ><п.) ><была ><установлена ><на ><ос><нове ><того ><сомнительного ><принципа, ><что ><термины ><и ><утверждения, ><встре><чающиеся ><только ><в ><философии, ><девиантны. ><Ибо ><трудность ><(а ><на ><самом ><деле, ><больше, ><чем ><просто ><трудность) ><состоит ><в ><том, ><что ><для ><этого ><ошеломляющего ><заявления ><нет ><лингвистических ><основа><ний. ><Каждая ><дисциплина ><имеет ><свои ><специфические ><термины ><и ><ут><верждения, ><и ><нет ><причин ><отказывать ><в ><этом ><философии. ><Если, ><на><пример, ><утверждение ><«существуют ><материальные ><объекты» ><не ><встре><чается ><за ><пределами ><философии, ><так ><это ><потому, ><что ><только ><филосо><фов ><интересует, ><что ><дает ><нам ><основания ><верить ><в ><это ><очевидное ><ут><верждение ><и ><только ><философы ><обладают ><терпением ><и ><профессио><нальными ><навыками, ><необходимыми ><для ><анализа ><обоснований, ><кото><рый ><оказывается ><столь ><трудной ><задачей; ><какую ><другую ><науку ><интере><сует ><обоснование ><и ><оправдание ><как ><таковые? ><Хотя ><часто ><можно ><ус><лышать, ><что ><философские ><высказывания ><по ><самой ><своей ><сути ><линг><вистически ><(логически ><или ><«концептуально») ><неясны, ><однако ><нет ><ни ><малейшего ><лингвистического ><свидетельства ><о ><том, ><что ><такие ><пред><ложения, ><как ><«существуют ><числа», ><«существуют ><множества» ><и ><«су><ществуют ><материальные ><объекты», ><девиантны ><в ><лингвистическом ><плане, ><т. ><е. ><нарушают ><определенные ><нормы ><естественного ><языка, ><в ><от><ношении ><которых ><можно ><с ><помощью ><соответствующих ><научных ><про><цедур ><установить, ><что ><они ><являются ><нормами ><естественного ><языка.>

<Иными ><словами, ><если ><бы ><мы ><могли ><честно ><показать, ><что ><выра><жения, ><специфические ><для ><философского ><дискурса ><в ><лингвистиче><ском ><плане ><неправильны, ><это ><было ><бы ><важным ><и ><ошеломляющим ><ре><зультатом. ><Однако ><этот ><результат ><не ><представляет ><никакого ><интере><са, ><если ><его ><«обосновывают» ><лишь ><тем, ><что ><определенные ><выраже><ния, ><специфические ><для ><философии, ><должны ><быть ><в ><чем-то ><непра><вильными, ><потому ><что ><они ><являются ><специфическими ><для ><филосо><фии ><и ><потому ><что ><выражения, ><встречающиеся ><только ><в ><фило><софском ><дискурсе, ><«странны». ><Это ><доказательство ><содержит ><явный ><круг: ><выдвигается ><принцип ><Р ><(гласящий, ><что ><есть ><нечто ><неправиль><ное ><в ><выражениях, ><встречающихся ><только ><в ><философском ><дискурсе), ><в ><его ><подтверждение ><предлагается ><множество ><примеров ><(т. ><е. ><философ><ских ><утверждений ><и ><вопросов, ><которые ><якобы ><«странны», ><«сомни><тельны» ><и ><т. ><д.); ><но, ><оказывается, ><что ><эти ><примеры ><подтверждают ><только ><в ><том ><случае, ><если ><принят ><принцип ><Р. ><Я ><не ><отрицаю, ><что ><ис><торически ><многие ><философские ><утверждения ><и ><аргументы ><содержали>

<><><136>< ><ФИЛОСОФИЯ>< >>

назад содержание далее




ПОИСК:




© FILOSOF.HISTORIC.RU 2001–2021
Все права на тексты книг принадлежат их авторам!

При копировании страниц проекта обязательно ставить ссылку:
'Электронная библиотека по философии - http://filosof.historic.ru'
Сайт создан при помощи Богданова В.В. (ТТИ ЮФУ в г.Таганроге)


Поможем с курсовой, контрольной, дипломной
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь