Часть 3.

Кант давно уже констатировал, что такие науки, как арифмети-

ка и геометрия, не могут основываться на голых логических по-

строениях, но для них необходимы другие источники познания3.

Правда, чистое познание a priori не оправдало себя в качестве та-

кого источника познания. И для Бенеке^ вполне ясно, что силло-

гизмы «никоим образом не могут вывести нас за пределы данного».

Они доводят только до ясного сознания зависимость суждений

друг от друга. У невнимательного наблюдателя психических про-

цессов может, правда, легко возникнуть иллюзия, будто силло-

гизмы приводят к расширению нашего познания. Возьмем,

например, теорему, что внешний угол и треугольника равен сум-

ме двух внутренних углов, не смежных с ним а + Ь. Если при-

нять, что стороны, совпадающие в вершине внешнего угла,

равны, то теперь, вследствие этой особой конструкции треуголь-

ника, и = 2а. Или если поместить центр круга в вершине внеш-

него угла и периферию его - на концах двух равных сторон, то

вследствие этой новой конструкции центральный угол и будет

равен двойному вписанному углу 2а. Но тщательно удаляя из на-

шего представления все, что попало сюда лишь как прибавка

конструкции, через специализацию, а не через силлогизм, мы не

найдем в нашем представлении ничего, кроме одного исходного

положения о внешнем угле.

3. Разыскивая последний источник этого положения, мы

найдем его в том факте опыта5, что суммы углов всех измери-

мых для нас плоских треугольников не отличаются заметным

для нас образом от двух прямых. При более распространенном

выводе упомянутая иллюзия выступает еще резче. Рассмотрим,

например, теорему Пифагора в изложении Евклида. Поверхность

квадрата со стороной ab равна двойной поверхности треугольни-

3 Kant, Prolegomena zu einer jeden k?nftigen Metaphysik. I Teil.

Beneke, System der Logik als Kunstlehre des Denkens. I, стр. 255 и след.

5 См. главу «К психологии и естественному развитию геометрии».

299

ка acf. Треугольник ас/равен треугольнику aeb. Двойная поверх-

ность треугольника aeb равна поверхности agde, части квадрата

со стороной ас, отрезанной от этого последнего перпендикуля-

ром bd, опущенным на сторону at. Правая, неначерченная часть

фиг. 8, аналогичным образом исследованная, дополняет искомое

до теоремы Пифагора. Здесь мы пользовались простыми теоремами

совмещения (определение величины и формы треугольников при

помощи сторон и углов) и теоремами относительно равенства

поверхностей фигур. Обнаружившееся при этом удивительное,

неожиданное отношение между квадратами сторон треугольника

поразит всякого начинающего. Однако эта новая черта опять-таки

обусловлена только конструкцией, а не формой вывода. Как то-

лько мы уяснили себе, что примененные нами теоремы основа-

ны на факте перемещаемости6 фигур без изменения их формы и

их поверхности, мы видим в теореме Пифагора, кроме особой

конструкции, только это. - Начинающий изучает теорему о па-

раллелограмме на фигуре с острыми углами и затем применяет

ее к прямоугольнику, мысль о котором при обсуждении этой те-

оремы, может быть, вовсе не приходила ему в голову. Если же

полученный результат изумляет его, то лишь потому, что при

обсуждении первой теоремы он понимал параллелизм сторон

недостаточно абстрактно или независимо от величины углов,

прилежащих этим сторонам. Уменье абстрагировать, концент-

рировать внимание на важном, оставляя без внимания побоч-

ное, требует именно навыка, без которого, как это знает всякий

учащийся, внимание уклоняется то в одну, то в другую сторону.

Частое размышление, например по случаю какого-нибудь вывода,

дает именно повод к тому, чтобы замечать эти уклонения, исправ-

лять их и таким образом делать абстракцию более совершенной.

6 Ibid.

300

Тот, кто опытен в деле абстракции, видит, например, во взаим-

ном делении пополам диагоналей квадрата свойство, общее всем

параллелограммам, в равенстве диагоналей - свойство, общее

всем прямоугольникам, и в их перпендикулярном пересече-

нии - свойство, общее всем ромбам и другим еще четырехуголь-

никам.

Так как силлогистическая дедукция исходит из общих поло-

жений (редко прямо представляемых в их специальных формах)

и при помощи многих посредствующих членов, меняя и комби-

нируя различные точки зрения, приходит к положениям более

специальным, то может получиться иллюзия совершенно нового

познания, не содержащегося будто бы в предпосылках. Но эти

положения могли бы быть усмотрены и непосредственно. Прав-

да, легче получить их через рассмотрение отдельных элементов.

В этом-то, а не в создании нового знания и заключается дейст-

вительная ценность дедукции.

4. При «слабости абстракции»7 бывает весьма полезно раз

удавшуюся абстракцию фиксировать в языке в виде определений

и положений и сохранять их в памяти. Мышление этим облегча-

ется, предохраняется от утомления, так как ему не приходится

каждый раз делать того же напряжения. Если основные позна-

ния, которыми оперирует силлогизм, и должны быть получены

иным путем, все же логическая операция не бесполезна. Она до-

водит до ясного нашего сознания взаимную зависимость позна-

ний и экономизирует нашу работу, делая излишним особое

обоснование положения, которое содержится уже в другом. Если

даже положения, из которых мы исходим в наших логических

построениях, не абсолютно достоверны, они все же могут найти

в них применение. Если бы положение «В есть А» и не было аб-

солютно достоверно, все же оставалось бы верным еще следую-

щее: если В есть А и С есть В, то С есть А. Таков собственно

действительный смысл всех положений современного естество-

знания и даже положения математики в применении к действи-

тельным естественным или искусственным объектам, которые

никогда, ведь, не находятся в полном соответствии с абстракт-

ными идеалами8.

5. Бросим теперь взгляд на противоположность силлогизма,

на индукцию. Пусть С\, С2, С3 ... . суть члены одного класса по-

нятий В (фиг. 7). Мы констатируем, что С\ подходит под поня-

тие А, С2 подходит под понятие А, С3 подходит под понятие А

7 Выражение, которое часто употребляет Шуппе в своих сочинениях по теории

познания.

8 См. прим, на стр. 300.

301

и т. д. В том случае, если С1? С2, С3 составляют весь объем/

понятия В и все входят в сферу А, то В входит всецело в сферу AI

Это - полная индукция. Если мы не в состоянии доказать отно-

сительно всех С\, С2, С3..., что они суть А и все же, не исчерпав

всего объема В, заключаем, что В есть А, то это - неполная ин-

дукция. Но в последнем случае это заключение не имеет никакого

логического основания9. Но силой ассоциации, привычки мы мо-

жем психически чувствовать себя настроенными ожидать, что все С

есть А, а потому В есть Л10. В интересах интеллектуальных преиму-

ществ, научного или практического успеха мы можем желать, чтоб

оно так было, и можем инстинктивно или также намеренно мето-

дологически, в предвидении возможного или вероятного успеха,

на пробу принять, что В есть А.

6. В полной индукции нет - в такой же мере, как в силло-

гизме - расширения нашего познания. Обобщением индивиду-

альных суждений в одно классовое суждение наше познание

получает только более сжатое выражение. Неполная же индук-

ция предвосхищает, правда, расширение познания, но заключает

в себе тем самым опасность заблуждения, и ее назначение с са-

мого начала лишь таково, что она должна быть проверена, исп-

равлена или совершенно отвергнута. Громадное большинство

наших легко полученных общих суждений получено при помо-

щи неполной индукции и только немногие получены при помо-

щи полной индукции. Образование общего суждения таким

путем не есть дело одного момента, происходящее совершенно

обособленно. Все современники, все сословия и даже целые по-

коления, целые народы работают над укреплением или исправ-

лением таких индукций. Чем большее распространение получает

опыт во времени и пространстве, тем резче и полней становится

контроль над индукцией. Стоит только вспомнить великие исто-

рические мировые события, крестовые походы, открытия новых

земель, усиленные международные сношения, развитие техники

Это очень хорошо показал уже Апелып (ibid., стр. 37 и след.). Но Апелып пола-

гает, что в основе всякой неполной индукции лежит a priori данное познание

существующего общего закона (закона причинности). Однако он сам при-

знает, что знание это не дает нам никаких указаний относительно примене-

ния его в особых случаях, и поэтому не оказывает нам никакой помощи и в

такой же мере может ввести нас в заблуждение, как указывать правильный

путь. Произвольное методическое предположение оказывает здесь ту же

услугу и даже лучше, так как, будучи заимствовано из мира эмпирии, уже но-

сит на себе его руководящие характерные черты.

Штер (A. St?hr, Leitfaden der Logik) обсуждает индукцию в главе «Логика

ожидания» (стр. 94 и след.), чем на мой взгляд обозначается правильная и

плодотворная точка зрения.

302

и сопровождающий его переворот во взглядах и мнениях людей.

Труднее всего поддаются исправлению те ложные индукции, ко-

торые вторгаются в субъективную область, с трудом поддающу-

юся или вовсе не поддающуюся контролю. Вспомним кометы,

предвещающие несчастия, астрологию, веру в существование

ведьм, спиритизм и другие формы официальных и частных веро-

ваний и предрассудков. Рядом с этой прямой проверкой индук-

ции опытом существует еще другая косвенная проверка их, не

менее важная. Индукции сталкиваются с другими индукциями,

оказываются непосредственно или посредственно - через сде-

ланные из них выводы - совместимыми или несовместимыми.

Каково положение идеи свободы воли в духе индетерминистов

пред лицом результатов статистики? Какая иная индукция за-

ключается в таблицах смертности страховых обществ, чем в по-

ложении: все люди смертны?

7. Большая посылка силлогизма может быть получена раз-

личным путем и различным же путем могут быть получены част-

ные суждения, лежащие в основе индукции. Эти частные суждения

могут быть в свою очередь результатами индукций, непосредст-

венных открытий или также дедукций. Положения, из которых

могли исходить древнейшие греческие геометры, были, вероят-

но, результатами непосредственных индукций. Так, положение,

что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точ-

ками, было получено, по-видимому, непосредственно из наблю-

дений над натянутыми нитками. Мы находим это положение у

Архимеда еще в виде основного принципа. Но можно исходить

также из положений, прямая, точная проверка которых на опыте

трудна, но выводы из которых находятся везде в полном согла-

сии с опытом. Такие положения, которые следует собственно

назвать гипотезами, лежат в основе механики Ньютона.

8. При выводе математических положений, например геомет-

рических, играет часто посредствующую роль полная индукция.

Возьмем вывод у Евклида теоремы об отношении, существующем

между центральными и вписанными углами. Здесь различаются

три случая, в которых ход рассуждений неодинаков. Только по-

сле того как доказывается правильность теоремы в каждом из

этих трех случаев, она высказывается в общем виде. Но кроме

того в основе рассуждений здесь лежит еще одна невысказанная

или неясно высказанная индукция. В самом деле, если рассмат-

ривать один из этих трех случаев в частности, то нетрудно ви-

деть, что вершина вписанного угла может быть перемещаема в

известных пределах без того, чтоб нужно было вносить измене-

ния в ходе рассуждений. Наконец, можно представить величину

303

центрального угла произвольно изменяемой и принимающей

все средние величины без того, чтобы нужно было изменять ход

рассуждения. Коротко говоря, мы пользуемся здесь в качестве

средства доказательства полной индукцией. Подобным же обра-

зом обстоит дело и при других выводах. Мы всегда должны со-

здать себе полный, ускоренный опытом и упражнением обзор

всевозможных случаев. Упущение в этом направлении, причем

выводу в частном случае придавалось общее значение, не раз

вело к тяжелым математическим ошибкам. Везде, где математи-

ка применяется к физике, химии или другой какой-либо отрасли

естествознания, включена эта подразумеваемая индукция. Дело

именно в том, что в математике полный обзор всех возможных

случаев сравнительно легко достижим вследствие однородности

и непрерывности ее объектов; к тому же дело идет здесь о нашей

собственной, многократно испытанной и знакомой нам регули-

рующей деятельности.

9. И неполная индукция находит частое применение в мате-

матике в качестве эвристического средства. Wallis{{ выводит с

ее помощью общий член и сумму рядов, образованных по изве-

стному закону. Эти исследования можно рассматривать как

арифметизацию идей Кавальеры12 о квадратуре и кубатуре и,

следовательно, как начатки интегрального исчисления. И вот

Яков Бернулли^ нашел прекрасный метод, как такие неполные

индукции превращать в полные. Он иллюстрирует этот метод

сначала на весьма простом примере. Допустим, что нам нужно

образовать сумму естественных целых чисел, включая и нуль, и

п(п +1) простои индукцией мы находим, что она равна -, причем

n есть высшее число и, следовательно, n + 1 есть число членов.

Чтобы показать теперь, что это выражение имеет общий харак-

тер, т. е. правильно для всякого числа членов, увеличивают это

п(п + 1)(л + 2)

число на один. Тогда сумма =- + (л + 1) = :

2 2

Таким образом та же формула сохраняет свое значение, если

увеличить n на одну единицу, а так как то же рассуждение мо-

жет быть повторено скодько угодно раз, то наша формула имеет

общее значение.

\

11 Wallis, Arithemetica infmitorum. Oxford, 1655.

12 Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota.

Bologna, 1635.

13 /?c, Bernoulli, Acta Eruditorum, 1686, стр. 360-361.

304

10. Этот пример столь прост, нагляден и прозрачен, что он

собственно не нуждается вовсе в особом доказательстве14. За-

тем Бернулли упоминает еще о применимости этого метода для

отыскания суммы пирамидальных квадратных чисел, треуголь-

ных и т. д. Для первой, например, простой индукцией находят

й 2 ) = - + - + -у каковая сумма, как это доказывает метод

3 2 6

Бернулли, верна и для л+1, а, следовательно, и для какого угодно

я15. Общая схема этого доказательства такова: если Дп) изобра-

жает общий член ряда, a F(ri) - - найденную через индукцию

формулу его суммы, то эта формула верна для каждого п, если

11. Метод Якова Бернулли имеет значение и для естество-

знания. Он учит нас, что свойство А, найденное при помощи

неполной индукции в членах С\, С2, С3... понятия В, можно то-

лько в том случае приписать самому этому понятию, если кон-

статировано, что это свойство связано с признаками понятия В

и от изменений его членов не зависит. Как во многих других

случаях, математика и здесь является образцом для естество-

знания.

12. Итак, силлогизм и индукция не ведут к новому позна-

нию, а обеспечивают только уничтожение противоречий, вос-

становление согласия между нашими познаниями, выясняют

связь их, направляют наше внимание на различные стороны ка-

кого-нибудь познания и научают нас узнавать одно и то же по-

знание в различных формах. Таким образом ясно, что настоящий

источник познания нужно искать где-нибудь в другом месте.

Ввиду этого весьма странно, что большинство естествоиспытате-

лей, занимавшихся обсуждением методов исследования, все же

видело в индукции главное средство исследования, как будто у

естественных наук нет никакого другого дела, как непосредст-

венно размещать в классы прямо данные индивидуальные факты.

Нельзя оспаривать важности этого дела, но задача исследователя

этим не исчерпывается; он должен прежде всего найти относя-

щиеся к делу признаки и их связи, что гораздо труднее, чем уже

Те же рассуждения в геометрической форме мы находим у Галилея при об-

суждении движения падающего тела.

Этот пример решен Kunze в Веймаре и приведен у Апелыпа в его Theorie der

Induktion на стр. 34-35. Легко видеть, как эти исследования приводят к ин-

тегральному исчислению. Если взять число п очень большим, то низшие сте-

пени бесконечно малы сравнительно с высшими и выражение только по

х3

форме отлично от J x2dx = ·--. В формулах текста вместо dx поставлена 1.

305

известное классифицировать. Поэтому обозначение всех естест-

венных наук как «индуктивных наук» неосновательно.

13. Это обозначение объясняется только давно устаревшей,

но сохранившейся традицией и привычкой. Рассматривая Беко-

невские таблицы «инстанций», говорящих за или против како-

го-нибудь допущения, или схемы согласия и различия у Милля,

мы видим, что сравнение может обратить наше внимание на не-

замеченную до тех пор связь, если эта последняя не настолько

бросается в глаза, чтобы сразу привлечь к себе внимание. Когда

внимание сконцентрировано на зависящих друг от друга призна-

ках и отвлечено от признаков менее важных, мы это называем

абстракцией16. Этим достигнута ситуация, которая может приве-

сти к открытию, но, правда - при неправильном руководстве

внимания - и к заблуждению. Этот процесс не имеет ничего об-

щего с индукцией. Но если сообразить, что наблюдение или пе-

речисление многих случаев, сходных в известных признаках,

несмотря на изменения, приводит легче к абстрактному усвое-

нию устойчивых признаков, чем рассмотрение одного случая, то,

действительно, замечается сходство этого процесса с индукцией.

Может быть, именно поэтому так долго сохранилось это назва-

ние.

14. Что же касается взглядов различных представителей ес-

тественнонаучной методологии на то, что собственно следует

называть индукцией, то они весьма различны как в общем, так и

в частностях, когда дело идет о специальных применениях.

Миллъ^1 называет индукцией умозаключение от частного к дру-

гому частному, совпадающему с первым в известных признаках.

Уэвелл1^, напротив, называет индуктивными умозаключениями

только такие, которыми достигаются общие новые положения с

содержанием большим, чем в частном случае. Умозаключений же

по аналогии от частного к частному, которые делаются и животны-

ми или являются руководящими началами во всякой практике, он,

в противоположность Миллю, не признает индуктивными умоза-

ключениями. Здесь трудно, по-видимому, провести резкую пси-

хологическую границу. Открытие Кеплером движения Марса по

эллипсу Милль считает простым описанием, - делом, вполне

аналогичным делу моряка, объезжающего какой-нибудь остров

и определяющего его береговую линию. Уэвелл видит в нем, как

На важное значение сравнения указывает уже Уэвелл и на такое же значение

абстракции - в особенности Апельт, но мне кажется, что значение обоих мо-

ментов для индукций все же недостаточно оценено.

Mill, Logik. Стр. L; стр. 331-367.

Whewell, Philosophy of Discovery. Стр. 238-291.

306

и в открытии Ньютона, индукцию. При этом он замечает, что

различные теории можно в действительности рассматривать как

различные описания19 одной и той же вещи; сущность индукции

сводится, по его мнению, к введению нового понятия, как эл-

липс у Кеплера, вихри у Декарта, обратно пропорциональное

квадратам притяжение у Ньютона. По мнению Апелъта2·®, в

основе открытия Кеплера лежит настоящая индукция, ибо он на-

шел, что все места, по которым проходит Марс, суть точки одно-

го эллипса. Но закон падения Галилея Апельт считает результатом

дедукции. Я же вижу между открытием Кеплера и открытием Га-

лилея одно только различие: первый придумал вспомогательное

понятие после наблюдения, а второй - до наблюдения. По мне-

нию Уэвелла, в индукции есть что-то таинственное21, что трудно

выразить словами. Мы вернемся еще к этому пункту. Это различие

во взглядах приводит по меньшей мере к недостаточной точности

обозначений. Так как слово «индукция» получило в формальной

логике вполне определенное значение и так как далее в естест-

веннонаучной методологии под этим словом подразумеваются

весьма многообразные и различные деятельности, на что мы

указывали уже выше, то мы не будем пользоваться этим словом в

дальнейшем изложении.

15. Попробуем проанализировать процесс исследования, не

давая тем или другим названиям вводить нас в заблуждение. Ло-

гика не дает никаких новых познаний. Откуда же они получают-

ся? Источником их является всегда наблюдение. Это последнее

может быть «внешним», чувственным, или «внутренним», отно-

сящимся к представлениям. То или другое направление внима-

ния выдвигает то одну, то другую связь элементов. Эта найденная

нами связь, фиксированная в понятии, представляет собою факт

познания, когда она сохраняет свое значение при сопоставлении

с другими умственными переживаниями, а в противном случае

есть заблуждение22. Итак, в основе всякого познания лежит ин-

туиция23, которая может относиться как к чувственно-ощущае-

мому, так и наглядно-представляемому и потенциально-нагляд-

ному, т. е. абстрактному. Логическое познание есть лишь част-

19 Отсюда ясно, что уже тогда близко подходим к мысли Кирхгофа.

20 Theorie der Induktion. Стр. 62 и след.; стр. 143 и след.

21 Wieweit, Philosophy of Discovery. Стр. 284.

22 Единичное индивидуальное данное, которое всегда, ведь, только факт, не

может как таковой быть названо ни заблуждением, ни познанием.

23 Рядом с Кантом лучше всего оценил, мне кажется, значение интуитивного

элемента Шопенгауэр.

307

ный случай указанного познания, именно познание, которое

занято лишь установлением согласий или противоречий, но ко-

торое без данных, почерпнутых ранее из восприятия или пред-

ставления, не могло бы иметь приложения. Приходим ли мы к

новому фактическому переживанию в нашей чувственной или

умственной жизни, благодаря исключительно физической или

психической случайности или через планомерное расширение

опыта умственным экспериментом, - всегда и везде только на

основе этого фактического, данного переживания и может выра-

стать познание. Если наш интерес возбуждается каким-нибудь

новым фактом, вследствие ли его непосредственной или посред-

ственной биологической важности, вследствие ли его согласия с

другими фактами или противоречия с ними, то уже сам психиче-

ский механизм ассоциаций концентрирует наше внимание на

двух или нескольких связанных в этом новом факте элементах.

Является невольно абстракция, незамечание элементов, кажу-

щихся неважными, вследствие чего случай индивидуальный по-

лучает характер более общего, представляющего собою много

однородных индивидуальных случаев. Наступление такой пси-

хологической ситуации естественно облегчается накоплением

многих однородных фактов, но при живом интересе то же может

быть и при одном. Но опытный исследователь может и намерен-

но, с полным сознанием своей попытки, отвлекаться от побоч-

ных обстоятельств и, предвидя результат, предпринять абстракцию

на пробу. Правильность такой общей мысли должна быть тогда

проверена наблюдением и опытом. Но когда представление ин-

дивидуально найденного факта пробуют расширить и превра-

тить в мысль более общую, в таких предварительных дополнениях

всегда играет известную роль произвол. Для одной части такого

расширения те или другие случаи могут давать опору. Так, Кеп-

лер может видеть, что Марс движется по некоторому замкнутому

овальному пути, Галилей - что путь, пройденный телом в своем

падении, и скорость падения возрастают, Ньютон - что горячее

тело тем быстрее охлаждается, чем холоднее окружающая его

среда; однако другая часть должна быть самостоятельно прибав-

лена, заимствованная из собственного запаса мыслей. Так, при-

нятый на пробу путь Марса в виде определенного эллипса есть

собственная конструкция Кеплера. Такое же значение имеет

предположение Галилея о том, что скорость падения пропорцио-

нальна времени падения, и предположение Ньютона, что ско-

рость охлаждения тела пропорциональна разности температур

этого тела и окружающей его среды. Опыты собственной абст-

рактной деятельности исследователя, опыты его в распределе-

308

нии, вычислении, построении должны помогать при логической

выработке общей мысли; одно наблюдение сделать этого не мо-

жет. Здесь находит приложение все, что сказано было выше о ги-

потезе, об аналогии и о мысленном эксперименте. Изображает

ли выработанная таким образом мысль наблюденные факты с

достаточной точностью, может быть решено лишь широким ис-

пытанием ее.

16. Уже одно точное установление фактов и соответствую-

щее изображение их в мыслях требует больше самодеятельности,

чем то обыкновенно думают. Чтобы быть в состоянии указать,

что один элемент зависит от другого или нескольких других и

как эти элементы друг от друга зависят, какая здесь существует

функциональная зависимость, исследователю приходится нечто

прибавлять от себя, лежащее вне его непосредственного наблю-

дения. Не следует думать, что, называя эту работу описанием,

мы понижаем ее значение.

17. Итак, всецело зависит от точки зрения исследователя, от

его кругозора, от современного ему уровня науки, в какой мере

его удовлетворяет установление какого-нибудь факта. Декарта

могли удовлетворить вихри в качестве средства для изображения

движения планет. Для Кеплера, который исходил еще из аними-

стических представлений24, найденные им в конце концов зако-

ны представляли большое упрощение; но Ньютон нашел нечто

более простое в механике Галилея и Гюйгенса, научающей опре-

делять движение какого-нибудь тела для всякого пункта времени и

пространства. Для него движение, меняющее свое направление и

скорость в каждом пункте времени и пространства, должно было

казаться чем-то весьма сложным. В своей склонности вносить

дополнения, выходящие за пределы непосредственно наблюдае-

мого, он предположил здесь более простые, может быть, уже из-

вестные, покрывающиеся факты. Практическая механика учит

вращать тело в круге на натянутой нити; теоретическая механика

научает сводить этот процесс к простейшим фактам. Вот этот

опыт Ньютон привносит в исследование. По указанию Платона

он представляет себе, идя обратным путем, задачу решенной,

движение планет - в виде такого вращательного движения. Ана-

литический путь показывает ему род натяжения нити, удовлет-

воряющий требованиям задачи. Последний шаг заключает в себе

открытие более простого нового факта, знание которого может

заменить все описания Кеплера. Но и констатирование этого

факта есть опять-таки только описание, правда, описание более

элементарного и общего факта.

24 Кеплер мыслил землю живою, представлял ее виде животного.

309

18. Таким же образом дело обстоит и в других областях. Пря-

молинейное распространение света, отражение и преломление

света констатируются подобным же образом, как и законы Кеп-

лера. Опираясь на свой опыт относительно водяных и звуковых

волн, Гюйгенс пытается свести эти сложные и изолированные

факты к немногим фактам волнообразного движения, что пред-

ставляет собою шаг, аналогичный с тем, который был сделан

Ньютоном. Продолжение исследований Ньютона над водяными

и звуковыми волнами в XVIII столетии дает, наконец, возмож-

ность Юнгу и Френелю справиться с периодичностью и поляри-

зацией света по образцу Гюйгенса. Здесь, как и везде, опыт,

приобретенный синтезом в одной области, применяется для ана-

лиза другой области. Методы Платона оказываются при этом по-

стоянно полезными, хотя они здесь ни являются столь надежными

руководителями, ни столь просты в применении, как в более

знакомой области геометрии. Это постепенное привлечение все

новых и новых областей опыта к объяснению одной какой-ни-

будь из них, подвергающейся в данный момент исследованию,

приводит к тому, что в конце концов вступают во взаимную

связь, объясняя друг друга, все области опыта, наглядным при-

мером чего служат уже современная физика и химия.

19. Если аналитическим методом проб найдена какая-ни-

будь основная мысль, открывающая надежду на более простое,

более легкое и более полное усвоение какого-нибудь факта или

многообразия фактов, то дедукция этих последних со всеми их

частностями из основной мысли служит мерилом ее ценности.

Если бы удалось доказать - что, правда, возможно в очень ред-

ких случаях, - что эта основная мысль есть единственное воз-

можное допущение, из которого можно вывести эти факты, то

это было бы полным доказательством правильности анализа.

Уэвелл указал на эту необходимую связь и взаимное подкрепле-

ние дедукции и «индукции» (по его терминологии). Общее поло-

жение, образующее исходный пункт дедукции, есть, наоборот,

результат индуктивного метода. Но в то время как дедукция со-

вершается методически, шаг за шагом, индукция идет скачками,

выходящими за пределы метода. Поэтому результаты индукции

должны быть впоследствии проверены при помощи дедукции25.

\

25 Whewell, The Philosophy of the inductive sciences. II, стр. 92. The doctrine which

is the hypothesis of the deductive reasoning, is the inference of the inductive process...

But still there is a great difference in the character of their movements. Deduction

descends steadily and methodically, step by step: Induction mounts by a

leap which is out of the reach of method. She bounds to the top of the stair at once;

and then it is the business of Deduction, by trying each step in order, to establish the

solidity of her companions footing.

310

20. Из всего вышесказанного ясно, что психическая деятель-

ность, при помощи которой получается новое познание и которую

большей частью обозначают неподходящим именем индукции,

есть не простой, а довольно сложный процесс. Прежде всего

этот процесс не есть процесс логический, хотя логические про-

цессы могут играть в нем известную роль, как промежуточные и

вспомогательные члены. Главная же работа при отыскании но-

вых познаний выпадает на долю абстракции и фантазии. Черта

таинственности, присущая, по мнению Уэвелла, так называемым

«индуктивным» познаниям, объясняется тем обстоятельством,

на которое указывает и сам Уэвелл, - а именно, что метод может

здесь мало сделать. Исследователь ищет выясняющую мысль, но

сначала не знает ни этой мысли, ни надежного пути к ней. Но

вот вдруг перед его умственным взором открывается сама цель

или путь к ней, и он в первое время сам изумлен этим открыти-

ем, как человек, который, блуждая в лесу, вдруг выходит из

чащи, и все становится ясным для него. Только после того как

открыто главное, начинается работа метода, работа систематиза-

ции и отделки подробностей.

21. Когда мы, руководимые интересом к связи фактов, на-

правляем наше внимание на эти факты - все равно даны ли они

нам чувственно или фиксированы просто в представлениях, или

изменены уже и комбинированы мысленным экспериментом -

мы, в счастливый момент, можем вдруг усмотреть полезную,

упрощающую мысль. Это - все, что можно сказать вообще. Бо-

лее научаемся мы, тщательно анализируя отдельные примеры

успешных размышлений: сначала проблемы, цель и средство ко-

торых известны, затем такие, в которых цель или средства менее

точно описаны, и, наконец, такие, которые возбуждают нашу

мысль самою своею неопределенностью, сложностью или пара-

доксальностью. При отсутствии достаточного метода, служащего

руководящим началом в научных открытиях, такие открытия, раз

они удались, являются в свете художественного творчества, что

очень хорошо указано Иоганнесом Мюллером^, Либихом 27 и др.

26 J. M?ller, Phantastische Gesichtserscheinungen. Стр. 96 и след.

27 Liebig, Induktion und Deduktion. 1874.

311

ГЛАВА 19

ЧИСЛО И МЕРА

1. Естественнонаучное познание получается открытием свя-

зи между известными реакциями или группами реакций А и В в

каком-нибудь объекте, в относительно устойчивом комплексе

чувственных элементов. Если, например, мы находим, что изве-

стный вид растения, обладающий определенной формою и распо-

ложением листьев, определенной формой цветка и т. п. (реакция

Л), обнаруживает также известные геотропические или гелио-

тропические свойства (реакция Б), то в такой связи заключается

естественнонаучное познание. Фиксирование такого познания в

пригодной для сообщения форме*описания, исключающего не-

правильные толкования, есть дело весьма сложное, несмотря на

развитие упрощающей классификаторской терминологии. Та же

сложность повторяется при описании свойств близкого к перво-

му вида растения, которое опять-таки содержит много подроб-

ностей, долженствующих быть отмеченными особо. Еще труднее

бывает вследствие этих подробностей фиксировать в одном об-

щем описании более обширную группу познаний. Для группы

животных, которые родят развитых детенышей и вскармливают

их своим молоком, удается еще указать общие физиологические

и анатомические реакции, как то: высокую температуру крови,

легочное дыхание, двойной путь кровообращения и т. д. Но если

представить великие анатомические и физиологические разли-

чия, существующие между сумчатыми животными, или, тем бо-

лее, однопроходными (monotremata), животными, несущими яйца,

утконосом, ехиднами с одной стороны и плацентарными млеко-

питающими с другой стороны, которые в некоторых отношени-

ях однако весьма близки, то становится ясно, как трудно сообщить

в обобщающем описании большую группу зоологических позна-

ний. При таком положении дела цель вывести развитие и ход

жизни животных из свойств клеток и зародышевых зачатков,

принимая во внимание определяющие условия окружающей

среды, может быть для нас лишь весьма отдаленным идеалом.

2. Если мы обратимся теперь к области физики, перед нами

предстанет другая картина, составляющая как будто явную про-

тивоположность первой. Положим, что две тяжести привешены

к концам веревки, переброшенной через блок. Достаточно каж-

дую из них заменить известным числом меньших равных тяже-

312

стей, чтобы быть в состоянии сказать, что перетянет та сторона,

на которой число равных тяжестей больше. Привесим тяжести к

неравным плечам рычага, разделим плечи на малые равные час-

ти, сосчитаем число частей тяжести и частей соответствующего

плеча рычага и перемножим полученные числа; точно так же по-

ступим и на другой стороне. Перетянет та сторона, на которой

получено большее произведение. Таким образом здесь описание

единичного факта достигается легко путем счета равных частей,

на которые можно разложить его признаки. И, далее, все случаи

в одной какой-нибудь области, например все случаи рычага, раз-

личающиеся между собой только числом равных частей основ-

ных признаков, так схожи, что общее их описание легко дается в

виде указания на правило вывода или вычисления из численных

данных. На подобном основании получаются обобщения даже

для весьма обширных областей фактов, например для всех ма-

шин с помощью понятия работы. Подобным же образом могут

быть в простейшей форме описаны таблицами чисел явления

падения тел или преломления света, а счастливый взгляд может

открыть и сжатую формулу, заменяющую такие таблицы. Вели-

чины пространства, времени и силы могут быть разделены при

помощи счета (измерения) на какие угодно небольшие равные

части. Это дает нам возможность везде, где мы имеем дело с ве-

щами измеримыми, представлять себе какие угодно факты постро-

енными из произвольно малых («бесконечно малых») элементов и

процессы, которые в них происходят, сводить к процессам, ко-

торые происходят в этих бесконечно малых элементах в беско-

нечно малые элементы времени. Для этого можно установить

общие формулы (правила вычисления) в форме дифференциаль-

ных уравнений. Достаточно немногих таких уравнений, чтобы в

принципе изобразить все возможные механические, термиче-

ские и электромагнитные и т. д. факты, хотя, конечно, приложе-

ние таких уравнений может в специальных случаях представлять

еще весьма значительные затруднения. Аналогичная ступень в

упомянутых выше областях еще недостижима. Области, которые

в настоящее время доступны лишь отчасти количественному об-

суждению, как, например, химия, образуют как бы середину

между этими двумя крайними полюсами.

3. Если оказывается, что какая-нибудь качественная реак-

ция abc связана с другой такой же реакцией k l m, то такая связь

может быть лишь просто отмечена и фиксирована в словах. То

же самое можно сказать о другой паре связанных между собой

качественных реакций de/...ипор... Если оба эти факта и близ-

ки друг к другу, все же будет в общем трудно обобщить их в од-

313

ном выражении. Но это обобщение становится тем легче, чем

больше качественные различия сводятся к чисто количествен-

ным. Стоит вспомнить, например, факты качественного хими-

ческого анализа с одной стороны и факты учения о фазах в

физической химии - с другой. Если во всем этом разобраться,

то становится ясным, что количественное исследование есть толь-

ко частный и более простой случай качественного. Физика только

потому достигла более высокой ступени развития, чем, напри-

мер, физиология, что перед ней стояли более легкие и более

простые задачи, и потому, что эти отдельные задачи гораздо бо-

лее однородны, так что решения их легче поддаются обобщаю-

щему выражению. Дело именно в том, что описание при

помощи счета есть простейшее описание и, благодаря готовой

системе чисел, может быть доведено до какой угодно тонкости и

точности различий без всякого нового изобретения. Система чи-

сел есть номенклатура неистощимой тонкости и широты и при

всем том она не уступит в наглядности никакой другой номенк-

латуре. Кроме того, пользуясь операциями над числами, можно

из каждого числа получить всякое другое, благодаря чему именно

числа оказываются особенно пригодными для выражения зави-

симостей. Различия между отдельными зависимостями выра-

жаются опять-таки численно и рассмотрение таких числовых

различий ведет тем же путем к более общим правилам зависимо-

стей. Эти очевидные преимущества, заключающиеся в примене-

нии количеств, должны вызвать стремление к отысканию связей

между качествами и количествами везде, где это только возмож-

но, дабы таким образом постепенно свести все качественные

исследования к количественным. Так качества цветов превра-

щаются через показатели преломления и длины волн в количе-

ственные признаки, и то же самое - качества тонов через числа

колебаний и т. д.

4. Количественное исследование имеет еще особое преиму-

щество перед качественным, когда дело идет об отыскании чувст-

венно данных элементов в их взаимной друг от друга зависимости,

т. е. только о зависимостях, лежащих вне пределов С/, о физике в

широком смысле. Чтобы получить эти зависимости в чистом

виде, должно быть по возможности исключено влияние наблю-

дателя, элементов, лежащих в пределах U. Это происходит тогда,

когда все измерение относится лишь к сравнению качественно

равных, к констатированию равенства или неравенства, причем

качества ощущения, как такового, зависящие между прочим и от

наблюдающего субъекта, оставляются в стороне. Интроспектив-

ная психология пока не в состоянии исключать качественное.

314

Измерительные понятия имеют поэтому в этой области ничтож-

ное значение. Связь психологии с физиологией и, посредствен-

но, с физикой может в будущем изменить это положение дела.

5. Попытаемся теперь психологически выяснить происхож-

дение представления и понятия числа из непосредственной или

посредственной биологической потребности. Дети, не имеющие

еще понятия о счете, в возрасте 2-3 лет, сразу замечают, если в

небольшой группе одинаковых монет или игрушек взять ка-

кую-нибудь тайком или прибавить. Несомненно, и животное

научается биологической нуждой различать, например, неболь-

шие группы одинаковых плодов по их содержанию и предпочи-

тает группу более богатую содержанием. Потребность в более

тонком развитии этой способности различения приводит к раз-

витию понятия числа. Чем больше членов объединяется в одну

группу, без утраты ее обозреваемости и различимости отдельных

членов, тем выше ценим мы означенную способность. Нашим

детям удается сначала объединять в группу 2,3,4 члена, не теряя

из виду различения этих членов. При этом близость членов по

времени или пространству может содействовать образованию

группы, а различие членов, в смысле их положения во времени

или пространстве, может обусловить различение их. Так зарож-

даются первые представления о числах, смотря по влиянию сре-

ды, с названием или без названий. Эти представления развиваются

через зрение, осязание или слух (в последнем случае наблюдени-

ем ритма)1. Употребление представлений о числах при смене

разных объектов ведет нас, с помощью названий чисел, к пони-

манию особой однородной реактивной деятельности, независи-

мой от рода объектов, к понятию числа2. Для получения более

ясных численных представлений о группах с более богатым со-

держанием, последние разделяются на систематически располо-

женные, уже привычные части. Эту историю развития мы находим

воплощенной в численных знаках ассирийцев, египтян, обита-

телей Мексики, римлян и других народов3. Свидетельствуют об

этой истории и наши игральные карты, и камни домино. Вполне

правильно ведем мы детей в элементарной школе по тому же

пути, который прошли самостоятельно все народы, именно даем

Научаются считать как люди зрячие и слышащие, так и слепые и глухоне-

мые. Глухонемой Massieu сам говорит: «Я знал числа прежде, чем меня стали

учить; меня научили им мои пальцы». (Туlor, Einleit. i. d. Studium d. Anthropologie,

стр. 372; см. также Tylor, Anf?nge d. Kultur. I, стр. 241 и след.)

Численные понятия приобретаются лишь выполнением численных операций

в различных случаях. См. стр. 147, примечание.

См. таблицу I у М. Cantor, Mathem. Beitr?ge zum Kulturleben der V?lker. 1863.

315

изображения группы объектов, упорядоченных и разделенных

легко обозреваемым способом4. Но это средство делать обозри-

мым содержание членов группы имеет узкие пределы.

6. Кроме этого средства -- наглядного распорядка членов

какой-нибудь группы - есть еще и другое. Каждый член группы,

которую желают обозреть, присоединяют к члену другой группы

объектов, нам весьма знакомой и привычной. Первобытные на-

роды пользуются в качестве такой труппы пальцами рук, а иногда

и ног5. Мы сами, будучи детьми, пользовались этим примитивным

средством, чтобы усилить наши численные представления со-

зерцанием этих особенно привычных нам объектов. Когда паль-

цы во время этого процесса называются и, хотя бы без особого

намерения, из простой привычки употребляются всегда в одном

и том же порядке, то из этих названий пальцев развиваются при

частом упражнении имена числительные, причем первоначаль-

ное значение этих названий забывается6. Так как все содержание

членов группы твердо упорядочено, то имя числительное опре-

деляет число членов упорядоченной, сосчитанной группы7. Та-

ково доказанное историей культуры происхождение имен числи-

тельных. Потребность в них и повод к их развитию проявлялись

довольно часто, когда приходилось устанавливать число друзей

или врагов, делить добычу, добытую на войне или на охоте и т. д.

7. Это средство упорядочения может быть легко с помощью

небольшого искусственного приема превращено в средство, пре-

делы применения которого безграничны. Рассматривают группу

из десяти членов как один член высшей группы, группу из деся-

ти таких высших групп - как один член еще высшей группы

и т. д. И, подобно тому как каждую группу можно рассматривать

как один член высшей группы, так можно каждый член рассмат-

С. Schneider, Die Zahl im grundlegenden Rechenunterricht. Berlin, 1900.

Подробнее см. Tylor, E i. d. St. d. Anthropologie, стр. 372 и след. Племя Tama-

паса, живущее вдоль реки Ориноко, говорит «целая рука» вместо пяти, «обе

руки» вместо десяти, «целый человек» вместо двадцати. Следы этого прими-

тивного способа счета сохранились еще у народов высоко цивилизованных;

французы, например, называют число 80 «quatre-vingt».

Tylor, Anf?nge der Kultur. I, стр. 248 и след. Tylor, Anthropologie, стр. 373.

A. Lanner, Die wissenschaftlichen Grundlagen des ersten Rechenunterrichts. Wien

und Leipzig, 1905. В этом сочинении много очень хороших психологических

замечаний относительно того, как дети научаются считать, как у них образу-

ются первые численные понятия и т. д. Понятие единицы может быть получе-

но лишь из общего понятия числа специализацией абстракции. Задача 1x2

или в особенности 1x1 может быть понята только после того, как поняты за-

дачи 2x2 или 3x2, как ид1 - после я2, ап и т. д. Сходное с этим замечание см.

Ribot, L'?volution des id?es g?n?rales. Paris, 1897, стр. 160.

316

ривать как группу из десяти меньших равных членов, что осо-

бенно ясно бывает при счете (измерении) того, что поддается

безграничному делению, например длин, но может быть выпол-

нено и везде. Таким образом система чисел становится приме-

нимой как для счета бесконечно большого, так и для счета

бесконечно малого8.

8. Пусть группа А и группа В состоят из одних равных чле-

нов. Будем связывать каждый член группы А соответственно с

одним членом группы В. Если обе группы исчерпываются одно-

временно, мы говорим, что они имеют равное содержание или -

короче - обе группы равны. Если В исчерпывается, когда груп-

па А еще не исчерпана, то содержание А больше содержания В.

Числами мы называем такие понятия, через которые мы опреде-

ляем группы, из равных членов состоящие, в смысле их содержа-

ния, и различаем одну от другой. Там, где место численных

представлений занимают численные понятия, нет уже непо-

средственной наглядности, а только потенциальная наглядность.

Численное понятие дает нам возможность везде, где это важно и

где мы не боимся затраты труда, наглядно представлять себе со-

держание группы, по крайней мере посредственно. Мы не ста-

нем останавливаться здесь на ученом споре, какие числа должно

считать в психологическом и логическом отношении первичны-

ми: количественные или порядковые. Да и невозможно из этих

систем, которые установляются впоследствии, приписывать од-

ной исключительное руководящее значение для культурного

развития. Численные названия для маленьких чисел могут несо-

мненно образоваться и без какого-либо принципа порядка. Но

там, где число выходит за пределы непосредственно наглядного,

принцип порядка оказывается безусловно необходимым для об-

разования понятия числа или количества, хотя этот принцип

может и не быть прямо выражен. Когда мы считаем равные или

кажущиеся нам равными объекты, то вместе с названием числа

мы присоединяем к объектам, которые до тех пор едва различа-

ли, отличительные знаки; эти последние очень скоро вновь утра-

тили бы для нас обозреваемость, если бы они в то же время не

были порядковыми знаками, образующими простую, весьма зна-

комую и привычную нам систему. Только лишь принцип поряд-

ка, благодаря которому каждое число потенциально содержит в

себе представление обо всех предшествующих ему числах и вме-

сте с тем ясно указывает положение его между двумя определен-

Наша десятичная система обязана своим естественным происхождением де-

сяти пальцам рук и по аналогии с ней могут быть придуманы какие угодно

другие системы.

317

•

ными членами системы, обусловливает большие преимущества

числа перед простым названием. Каждый алфавитный указа-

тель, цифры страниц какой-нибудь книги, каждый распределен-

ный по номерам инвентарь и т. д. дает нам ясно почувствовать

ценность порядка для быстрой ориентировки.

9. Часто называют числа «плодами свободного творчества че-

ловеческого духа». Обнаруживающееся здесь восхищение пред

человеческим духом весьма естественно пред готовым и внушите-

льным зданием арифметики. Но пониманию этого творчества го-

раздо более способствует, если мы наблюдаем инстинктивные

начатки его и обстоятельства, вызвавшие потребность в нем. Та-

кое исследование, может быть, приведет к мысли, что первые

относящиеся сюда образования были бессознательными и био-

логически вынуждены материальными условиями, ценность ко-

торых могла быть познана лишь после того, как они были уже

налицо и много раз обнаруживали уже свою полезность. Только

воспитанный на таких более простых образованиях интеллект мог

постепенно развиться до более свободных, сознательных и быст-

ро удовлетворяющих потребность данного момента изобретений.

10. Для торговли и сношений, купли и продажи, требуется

развитие арифметики. Культура примитивная пользуется для

подкрепления своих расчетов простыми приборами или счетны-

ми машинами; таковы, например, римская счетная доска (Abacus)

или китайские счеты, ставшие общеизвестными через посредство

русских и приобретшие права гражданства в наших элементар-

ных школах. Во всех этих приборах подлежащие счету объекты

символизируются в подвижных предметах, костяшках, шариках

или других вещах, которыми и оперируют, вместо того чтобы

оперировать более тяжеловесными объектами. Группа десятков,

сотен и т. д. отмечены особыми знаками, которым отведены спе-

циальные отделения в машине9. Если взять понятие машины

(вспомогательного приспособления) несколько свободнее и шире,

то и в наших арабских (индийских) цифрах и десятичной систе-

ме, в которой отсутствие групп в известном классе обозначается

нулем10, тоже должно видеть счетную машину, которая с помо-

щью бумаги и карандаша может быть устроена в любой момент.

При этом наше внимание "еще более облегчается, так как цифры

делают излишним счет членов каждого класса.

Механические счетные машины Паскаля, Лейбница, Бэббэджа, Томаса и др.,

выполняющие арифметические операции посредством вращений рукоятки и

зубчатых передач, как и современные интеграфы, представляют собой есте-

ственное дальнейшее развитие примитивных счетных машин.

Важное изобретение нуля приписывается индусам.

318

И. В наших сношениях могут возникать различные задачи.

Является, например, потребность объединить в одну группу две

или несколько групп равных членов и указать число членов этой

новой группы, т. е. возникает задача сложения. Примитивное

решение этой задачи заключается в том, чтобы были пересчита-

ны все члены группы, получаемой в результате объединения, все

равно, были ли уже ранее пересчитаны члены в отдельных груп-

пах или нет. И, действительно, наши дети пользуются еще и в

настоящее время этим способом, оперируя над маленькими чис-

лами и приобретая при этом опыт в счете. Этим опытом они

впоследствии пользуются при сложении больших, написанных

согласно десятичной системе, чисел, сосчитывая отдельно еди-

ницы, отдельно десятки и т. д. и перенося получающиеся при

этом единицы высших классов в эти последние. Уже этот про-

стой пример показывает, что вычисление (арифметическое дей-

ствие) состоит в освобождении от прямого считания, причем это

последнее, с помощью числового опыта, заменяется возможно

проще ранее уже исполненными действиями счета. Вычисление

есть непрямое или косвенное считание. Представим, что нам

нужно сложить 4 или 5 многозначных чисел и что эта задача

один раз решается прямым сосчитыванием, а другой раз -

обычным способом вычисления: сразу видна огромная экономия

во времени и работе, заключающаяся в последнем способе. Столь

же часто встречаются в практической жизни случаи, побуждаю-

щие к решению задач на вычитание, умножение, деление и т. д. И

опять можно показать, что и здесь дело сводится к упрощенному,

сокращенному счету с применением приобретенного уже число-

вого опыта, но мы не будем на этом больше останавливаться11.

12. Итак, материальная среда, окружающая нас, далеко не

столь неповинна в развитии наших арифметических понятий,

как это иногда думают. Если бы физический опыт не учил нас

тому, что существует множественность эквивалентных, постоян-

ных вещей, если бы биологическая потребность не понуждала

нас к объединению этих вещей в группы, счет не имел бы ника-

кой цели и смысла. К чему нам было бы считать, если бы наша

среда была совершенно непостоянна, как во сне менялась каж-

дый момент? Если бы прямой счет не был практически неиспол-

Мое изложение этих вопросов от 1882 г. (Popul?re Vorlesungen, 3 изд. стр. 224)

очень близко подходит к взглядам Гелъмголъца и Кронекера (Сборник, издан-

ный в честь Целлера, 1887 г.). Другие пункты я попытался осветить в моей

книге «W?rmelehre», 2 изд., стр. 65 и след. См. также прекрасный подробный

разбор этих вопросов у Af. Pack, «Z?hlen und Rechnen» (Zeitschr. f. Philos, u.

P?dagogik von Fl?gel u. Rein, Jahrg 2, стр. 196 и след.). Далее: Czuber, Zum Zahl

and Gr?ssenbegriff (Zeitschr. f. d. Realschulwesen, Jahrg. 29, стр. 267).

319

г

ним при определении больших чисел, вследствие огромной

затраты на него времени и труда, ничто не побуждало бы нас к

изобретению вычисления, посредственного счета. Прямым сче-

том мы только чувственно констатируем фактически данное.

Так как арифметические действия представляют собой лишь

косвенный счет, то ясно, что с их помощью мы ничего не можем

узнать существенно нового о чувственном мире, ничего, чего не

мог бы дать и прямой счет. Как может, следовательно, математика

предписывать a priori природе законы, если она по необходимости

ограничивается только тем, что, пользуясь опытами упорядо-

чивающей деятельности считающего, доказывает согласие резу-

льтатов арифметического действия с исходными данными. Но

навык в наблюдении и понимании различных форм собственной

упорядочивающей деятельности может поэтому все же иметь

высокую ценность и освещать один и тот же факт с самых раз-

личных точек зрения.

13. Простые начатки арифметики развились на службе прак-

тической жизни. Дальнейшее же ее развитие получилось вслед-

ствие того, что арифметика стада предметом особой профессии.

Кому неоднократно приходится проделывать одни и те же вы-

числения и кто приобрел в этом деле особую сноровку и обоб-

щающий взгляд, тому особенно легко заметить возможные упро-

щения и сокращения метода. Так зарождается алгебра, общие

символы которой не обозначают особых чисел, а сосредоточива-

ют внимание на форме операций. Алгебра решает все совпадаю-

щие по форме операции сразу для всех случаев, и тогда остается

только небольшая работа вычисления со специальными числа-

ми. Алгебраические выражения, как и вообще математические,

выражают всегда лишь эквивалентность различных видов распре-

делительной, упорядочивающей деятельности. Это относится,

например, к общим сторонам уравнения, выражающего теорему

бинома. Когда мы рядом с квадратным уравнением пишем форму-

лу его корней, мы в такой же мере устанавливаем эквивалентность

двух операций, как если поместить рядом дифференциальное

уравнение и его интеграл. Кстати заметим, что математически

язык знаков опять-таки представляет собой род машины для об-

легчения головы, - машины, при помощи которой мы символи-

чески совершаем быстро и легко операции, которые без нее нас

утомляли бы. Вместе с тем математическое письмо есть прекрас-

нейший и наиболее совершенный пример удачной пазиграфии,

правда, для ограниченной области.

14. Рассмотрение групп равноценных объектов приводит не-

посредственно только к понятию целых чисел. Если объекты

320

суть индивиды, не поддающиеся разложению на равноценные

части, то при счете их находят вообще разумное применение то-

лько целые числа. Но деление, как аналитическая противопо-

ложность синтетическому умножению, приводит в особых случа-

ях к разделению единичных сосчитанных объектов (единиц), к

дробным числам, которые, конечно, имеют смысл только для

единиц, действительно разделимых. Применения арифметики к

геометрии, например уже попытка выразить диагонали и сторо-

ны квадрата в одних и тех же единицах, равно как и чисто ариф-

метические операции, извлечение корня, как аналитическая

противоположность синтетическому возведению в степень, при-

водят к фикции чисел, не подлежащих полному определению

никакими конечными численными операциями, - к фикции ирра-

циональных чисел. Побуждают к образованию новых понятий и

операции простейшие, как сложение и вычитание. Действия

7 + 8 или 8 - 5 осуществимы всегда. Но операция 5 - 8 представ-

ляет собой нечто невозможное, если дело идет о совершенно

равных численных объектах, не представляющих никакой проти-

воположности. Но эта операция становится сразу возможной и

получает разумный смысл, как только соответствующие едини-

цы образуют какую-нибудь противоположность, как имущество

и долг, движения вперед и назад и т. д. Так приходим мы к поня-

тию противоположности положительных и отрицательных чисел,

для обозначения которых сохраняются знаки сложения и вычи-

тания, при каковых действиях впервые обнаружилась потреб-

ность в фиксировании этой противоположности. Строго говоря,

были бы необходимы для обозначения этой противоположности

особые знаки. Правило знаков для умножения обозначенных

(положительных и отрицательных) чисел вытекает из того, что

произведение (а - Ь) · (с - а) должно совпадать с произведением,

которое получается, если заменить множители простыми вели-

чинами т и п. В случае чисел без противоположности, такое

правило умножения не имеет никакого смысла. По упомянутому

правилу знаков и положительное и отрицательное число дают

положительный квадрат. Это обстоятельство ведет однако к

тому, что квадратный корень из отрицательного числа должен с

первого взгляда показаться невозможным, мнимым. И действите-

льно, такой корень, как и отрицательное число, долгое время

считались невозможными. И покуда неизвестна никакая другая

противоположность, кроме противоположности положительных

и отрицательных чисел, это так и остается. Wallis12, руководству-

ясь геометрическими приложениями алгебры, первый пришел к

12 Wallis, Algebra. 1673, Кар. 66-69.

11 Познание и заблуждение 321

мысли рассматривать лДГ, как среднее пропорциональное между

-1 и +1 (+1 : / = / : -1, откуда / = V^T). Этот взгляд встречается

более или менее ясно еще несколько раз, пока Argand1* не изло-

жил его с полной ясностью и всеобщностью. Распространяя

пропорциональность не только на величину, но и на направле-

ние, он придает выражению о + thi-( значение вектора в плоско-

сти. Мы доходим от начальной точки этого вектора до конечной,

передвигаясь в одном направлении на отрезок а и затем в направ-

лении, перпендикулярном к первому, на отрезок Ъ. Таким образом

точки плоскости могут быть изображены через комплексы.

15. Итак, практика арифметики в некоторых случаях приводит

к (аналитическим) операциям, которые на первый взгляд кажутся

невозможными, или их результаты - не имеющими никакого

смысла. Но при более близком рассмотрении оказывается, что

при небольшом видоизменении и расширении принятых до тех

пор арифметических понятий эта невозможность исчезает и ре-

зультат получает очень ясный смысл, правда, при несколько рас-

ширенной области применения арифметики. После того как

математики были вынуждены против своей воли видоизменять

свои понятия и когда они оценили значение и преимущества та-

ких процессов, стало доступным быстрее удовлетворять назре-

вавшие потребности именно через свободное творчество или

даже предвосхищать эти потребности. Блестящие примеры тако-

го творчества мы находим у Грассмана, Гамильтона и др. в облас-

ти векториального исчисления, в котором численные понятия

непосредственно приспособляются к потребностям геометрии,

кинематики, механики, физики и т. д.

16. Упомянем еще об одной современной попытке выразить

в определенных понятиях не только беспредельно возрастающее

или уменьшающееся бесконечное, но и актуально бесконечное.

В первом дне своих диалогов (1638) Галилей обращает внимание

на следующий парадокс: бесконечное множество целых чисел

кажется как будто гораздо большим числом, чем количество

квадратных чисел, а между тем, так как каждому числу должно

соответствовать свое квадратное число, то количества тех и дру-

гих чисел должны быть равны. Приходит он к тому заключению,

R. Argand, Essai sur la mani?re de repr?senter les quantit?s imaginaires. Paris, 1806.

Взгляд ArgancTa становится ясным из следующего примера. Пусть от ка-

кой-нибудь начальной точки проведен вектор г, от той же начальной точки

проведен вектор лгпод углом ц к первому и от нее же в той же плоскости про-

веден вектор п2г под тем же углом ц ко второму вектору и в том же направле-

нии; тогда он называет второй вектор средним пропорциональным между

первым и третьим. Сочинение ArgancTa представляет собой образец изложе-

ния новой мысли.

322

что категории равного, большего, меньшего неприменимы к

бесконечному. Эти рассуждения, следы которых можно просле-

дить до античной эпохи, приводят к исследованиям Г. Кантора о

многообразиях. Пример Галилея показывает, как можно прийти,

например, к следующим определениям: два многообразия обла-

дают равной мощностью, если каждый элемент одного из них

однозначно и взаимно соответствует элементу другого. Два та-

кие многообразия называются эквивалентными. Многообразие

бесконечно, если оно эквивалентно собственной же своей час-

ти14. Исследования Кантора показывают, что и в области актуа-

льно бесконечного возможно целесообразным построением упо-

рядочивающих понятий сохранить обозреваемость многообразия.

17. Что касается логико-математического изложения учения

о числе, я хотел бы указать здесь на ясно и привлекательно напи-

санную книгу L. Couturat15. Точка зрения, с которой обсуждается

здесь предмет, соответствует психологическому и культурно-исто-

рическому изучению, составляющему во всяком случае необхо-

димое дополнение к указанной выше логической точке зрения.

Углубленное изучение истории развития могло бы оказать здесь

столь же полезное и отрезвляющее влияние, какое оказали изве-

стные лекции Феликса Клейна^.