Часть 4.

18. Там, где уже заранее даны дискретные, равноценные для

нашего актуального интереса, объекты, применения учения о

числах сравнительно просты. Но многие объекты исследования,

как то пространственная и временная протяженность, интенсив-

ность сил и т. д., не представляют непосредственно групп экви-

валентных членов, доступных непосредственному счету. Правда,

можно эти объекты разнообразным образом делить на равно-

ценные, поддающиеся счету, члены, эти последние, далее, де-

лить на такие же члены и т. д., но и пределы деления этих членов

должны быть воспринимаемы и различаемы искусственно, и де-

ление, на котором хотят остановиться, следовательно, величина

последних членов деления произвольна и случайна. Но раз пре-

парирована таким образом подобная непрерывная величина, то

часть ее, определение которой ищется в том или ином исследо-

11*

G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883.

См. также цитированную в следующем примечании книгу Couturat, стр. 617 и

след. См. наконец, A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten.

Jahrb. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 8, Heft 2.

1900.

Couturat, De l'infini math?matique. Paris, 1896. Прекрасный краткий обзор раз-

вития понятия числа см. у О. Stolz, Grossen und Zahlen. Leipzig, 1891.

F. Klein, Anwendung der Differential und Integralrechnung auf Geometrie. Eine

Revision der Prinzipien. Leipzig, 1902.

323

вании, может быть с какой угодно точностью определена счетом

ее частей, т. е. измерением. Искусственно созданная числовая

непрерывность есть средство, при помощи которого мы можем с

какой угодно точностью проследить условия естественных не-

прерывностей. Но у какого-нибудь предела приходится остано-

виться вследствие несовершенства наших чувств, даже усиленных

искусственными средствами. Ибо то, что какой-нибудь масштаб

покрывается подлежащим измерению объектом или что концы

совпадают, невозможно установить с беспредельной точностью.

Эта неточность отзывается затем и на числе, которое, как резуль-

тат измерения, дает нам отношение между измеряемым объектом

и масштабом. Впрочем от того же недостатка не свободны и

практические применения арифметики к отдельным, поддаю-

щимся счету объектам, ибо идеальная предпосылка совершен-

ной равноценности последних в действительности никогда не

осуществима.

19. Когда нужно непрерывно изменяющиеся физические об-

стоятельства, физические величины сводить к какой-нибудь

мере, приходится выбрать сначала какой-нибудь объект для

сравнения как единицу меры, и установить, каким способом

возможно определять равенство другого объекта с этой избран-

ной нами единицей. Равными в известном отношении мы счита-

ем объекты, которые при неизменившихся условиях могут заменять

друг друга с неизменными последствиями. Две тяжести равны,

когда, будучи положены одна после другой на одну и ту же чашку

одних и тех же весов, одинаково отклоняют стрелку последних;

два электрических тока равны, когда, будучи один за другим вве-

дены в неизменяющийся гальванометр, вызывают одно и то же

отклонение стрелки; подобным же образом определяется равен-

ство магнитных полюсов, градусов тепла, количеств теплоты

и т. д. Если же на ту же чашку весов положить n тяжестей, по-

рознь равных единице меры, если провести через ту же проволоку

гальванометра (или также рядом расположенные проволоки) n

единиц тока и т. д., то результат (при совершенной заместимости

единиц друг другом) зависит только от числа единиц и17.

20. Раз мы определили в числах основные обстоятельства в

ряде однородных физических случаев, то часто удается выразить

их взаимную зависимость в простой формуле с точностью, до-

статочной для изображения фактов. Примерами этого могут слу-

жить закон преломления света, закон Мариотта - Гей-Люссака,

закон Био - Савара. Такие законы, раз установленные, часто мо-

См. Helmholz, Z?hlen und Messen. (Philos. Aufs?tze. Б. Zeller gewidmet 1887. стр.

15 и след.)

324

гут облегчить косвенное измерение там, где прямое трудно или

невозможно. Так, например, трудно непрерывно изменять ин-

тенсивность какого-нибудь источника света, но зато легко оце-

нить глазом равенство двух источников света по равной яркости

освещения двух граничащих друг с другом, равных поверхно-

стей, находящихся на равном расстоянии от источников света, и

при направлении лучей перпендикулярном к ним обоим. Если

же доказано, что какая-нибудь поверхность, освещенная пер-

пендикулярными лучами одного источника света, так же ярко

освещена, как равная ей поверхность, освещенная 4, 9, 16... по-

мещенными друг возле друга источниками света, порознь рав-

ными первому, находящимися на расстоянии в 2, 3, 4... раза

большем расстояния первого, то измерение отношения, сущест-

вующего между двумя величинами интенсивности света, может

быть сведено к измерению отношения, существующего между

двумя расстояниями при равной яркости освещения, хотя глазу

приходится только судить о равенстве и неравенстве в яркости

освещения.

21. Складывая какую-нибудь физическую величину из одно-

родных частей, необходимо всегда обращать внимание на то,

есть ли это соединение действительное сложение. Так, напри-

мер, можно не задумываясь более или менее интенсивный свет

сложить из однородных, независимых (не сливающихся) эле-

ментов света и интенсивность его приравнять сумме частей,

между тем как со светом малых источников света это при извест-

ных условиях, как известно, неправильно. Так и интенсивность

тона нескольких равно настроенных камертонов в общем не есть

сумма интенсивностей отдельных камертонов, но бывает тако-

вой только в том случае, если и фазы совпадают. Относительно

других предосторожностей, которые следует принимать во вни-

мание, см. «Prinzipien der W?rmelehre», стр. 39-57.

ГЛАВА 20

ПРОСТРАНСТВО ФИЗИОЛОГИЧЕСКОЕ

И МЕТРИЧЕСКОЕ

1. Пространство физиологическое, пространство нашего

чувственного воззрения, которое мы находим уже готовым

при полном пробуждении нашего сознания, весьма отличает-

ся от пространства метрического, абстрактного. Большая часть

наших геометрических понятий приобретена с помощью спе-

циально устроенных опытов. Пространство Евклидовой гео-

метрии имеет везде во всех местах и по всем направлениям

одни и те же свойства, беспредельно и бесконечно. Если мы

сравним с ним пространство нашего чувства зрения, «зритель-

ное пространство», согласно обозначению Иоганнеса Мюллера

и Геринга знакомое зрячему, то найдем, что его свойства не

одинаковы везде и по всем направлениям, что оно ни бесконеч-

но, ни беспредельно1. Факты, относящиеся к тому, как мы ви-

дим фигуры, и изложенные мной в другом месте2, показывают,

что «верху» и «низу», «близкому» и «далекому» соответствуют со-

вершенно разные ощущения. На различных же ощущениях, хотя

и более сходных, основаны «правое» и «левое», как то видно из

фактов физиологической симметрии3. Неравенство направле-

ний выражается в явлениях физиологического сходства4. Ког-

да мы въезжаем в железнодорожном поезде в туннель, камни

его как будто растут, а когда выезжаем - как будто сжимают-

ся. Это только яркий пример того повседневного опыта, что

видимые предметы не перемещаются в зрительном простран-

стве без сжатия и расширения, как перемещаются соответствую-

щие им неизменные геометрические объекты. Даже известные

покоящиеся объекты показывают такие же особенности. На-

детый на лицо широкий и глубокий цилиндрический стеклян-

ный стакан или приставленная над бровями горизонтально

цилиндрическая палка кажутся нам в этом необычном положе-

нии заметно коническими, расширяющимися к лицу в форме

1 Встречающиеся здесь выражения следует понимать в смысле Римана.

2 Анализ ощущений (изд. С. Скирмунта), стр. 98.

3 Ibid., стр. 99.

4 Ibid., стр. 100.

326

трубы5. Зрительное пространство скорее похоже на построения

метагеометров, чем на пространство Евклида. Оно не только

ограниченно, но кажется имеющим весьма тесные пределы.

Один опыт Плато показывает, что последовательный зритель-

ный образ не увеличивается уже заметно, если проецируется на

поверхность, постепенно отступающую от глаза далее 30 метров

расстояния. Все наивные люди, полагающиеся на непосредст-

венное впечатление, как и астрономы древности, видят небо

приблизительно в виде шара конечного радиуса. Сплющенная

форма небесного свода, известная уже Птолемею и в новейшее

время обсуждавшаяся Эйлером, знакомит нас даже с неравным

протяжением зрительного пространства в различных направле-

ниях. Физиологическому объяснению этого факта положил осно-

вание Z0/A6, доказав, что это явление зависит от возвышения

взгляда, ориентированного относительно головы. Что пределы

зрительного пространства весьма узки, доказывает уже возмож-

ность панорам. Наконец, заметим еще, что первоначально зри-

тельное пространство вообще не метрическое. Места, расстояния

и т. д. в зрительном пространстве различаются не количествен-

но, а качественно. То, что мы называем глазомером, развивается

лишь на основе примитивного физически-метрического опыта.

2. Пространственные восприятия дает также кожа, представ-

ляющая замкнутую поверхность сложной геометрической фор-

мы. Мы различаем не только качество раздражения, но и -

через посредство прибавочного ощущения - раздражаемое место.

Если это последнее ощущение для разных мест кожи различно и

тем более различно, чем дальше друг от друга находятся соответ-

ствующие места, то существенные биологические потребности

тем уже удовлетворены. Большие аномалии, свойственные про-

странственному чувству кожи сравнительно с метрическим про-

странством, были указаны Вебером1. Расстояние между остриями

С тех пор по этому вопросу была обнародована подробная и основательная

работа Гиллебранда (F. Hillebrand, Theorie der scheinbaren Grosse bei binokularem

Sehen, Denkschr. d. Wiener Akademie, math.-naturw. Cl., Bd. 72, 1902). -

Автор употребляет выражение «кажущаяся величина» в смысле «видимой ве-

личины» Геринга. Упомянутое в тексте явление при остроумном методе на-

блюдения автора выступает весьма ясно и поддается измерению. - R. v.

Sterneck, Versucheiner Theorie der scheinbaren Entfernungen. Ber. d. Wiener Akademie,

math.-naturw. Cl., Bd. 114, A. II а, стр. 1685 (1905).

O. Zoth, ?ber den Einfluss der Blickrichtung auf die scheinbare Grosse der Gestirne

und die scheinbareg Form des Himmelsgew?lbes (Pfl?gers Archiv, Bd. 78, 1899).

Дальнейшая разработка опытов Гиллебранда с принятием в расчет направле-

ния взгляда была бы весьма желательна.

E. H. Weber, ?ber den Raumsinn und die Empfindungskreise in der Haut und im

Auge. (Ber. d. kgl. s?chs. Gesellsch. d. Wissenschaften, math.-naturw. Cl. 1852,

стран. 85 и след.)

327

Фиг. 9 Фиг. 10

циркуля, при котором еще ясно различаются в отдельности мес-

та прикосновения, в 50-60 раз меньше на кончике языка, чем

посредине спины. Пространственная чувствительность весьма

различна на различных частях кожи. Если циркуль, раздвинутый

настолько, что между его остриями помещаются верхняя и ниж-

няя губа, двигать в горизонтальном направлении, то он кажется

заметно смыкающимся (фиг. 9). Если расстояние между остри-

ями циркуля сделать равным расстоянию концов двух соседних

пальцев и провести ими отсюда по внутренней поверхности руки

до локтя, то кажется, будто острия совсем сходятся (фиг. 10). На

обеих фигурах действительный путь показан пунктиром, а мни-

мый - сплошной линией. Формы тел, которые касаются нашей

кожи, мы различаем8, но пространственное чувство кожи значи-

тельно уступает таковому же чувству глаза9. Кончиком языка мы

узнаем еще поперечный разрез круглой трубки с диаметром в два

При этом необходимо, конечно, позаботиться о том, чтобы произошло тес-

ное соприкосновение между кожей и наложенным на нее телом. В мою, па-

рализованную апоплексическим ударом, руку клали однажды различные

объекты и я некоторых не узнавал. Отсюда сделали вывод, что у меня частич-

ное нарушение чувствительности. Но это заключение оказалось неправиль-

ным. Сейчас же после исследования я попросил другое лицо сжать мне руку

и я сейчас же узнал положенные в нее объекты.

E. H. Weber, Ibid., стр. 125.

328

миллиметра. Пространство кожи соответствует двухмерному,

конечному, безграничному (замкнутому) пространству Римана.

Ощущения движения членов, в особенности рук, частей рук и

пальцев, прибавляют еще нечто, соответствующее третьему из-

мерению. Постепенно мы научаемся истолковывать эту систему

ощущений при помощи более простой, более наглядной систе-

мы физической. Так мы довольно точно оцениваем толщину до-

ски стола, нащупав ее в темноте между большим и указательным

пальцами. Оценка удается даже в том случае, если мы прикаса-

емся к верхней стороне пальцем одной руки и к нижней - паль-

цем другой. Гаптическое или осязательное пространство столь

же мало имеет общего с метрическим, как и пространство зрите-

льное. Подобно последнему, оно анизотропно и неоднородно.

Главные направления нашей организации - спереди назад,

сверху вниз, справа налево - в обоих физиологических про-

странствах одинаково неравноценны.

3. Что пространственное чувство оказывается неразвитым

там, где оно не имеет никакой биологической функции, не мо-

жет нас особенно удивлять. Какая была бы нам польза знать о

положении внутренних органов, когда мы никакого влияния не

имеем на их функцию? Так, например, пространственное чувст-

во простирается неглубоко в носу. Если ввести в нос две трубоч-

ки, из которых только в одной помещено пахучее вещество, то

невозможно различить, ощущаем ли мы запах в правой или в ле-

вой ноздре10. Напротив, осязательная чувствительность прости-

рается, по Веберу, до барабанной перепонки11, и ею мы различаем,

слышен ли сильный звук справа или слева. Этим достигается,

конечно, лишь самая грубая ориентировка положения источни-

ка звука; для более тонкой ориентировки этого ощущения недо-

статочно.

4. Хотя признак места и пространства в известных ощуще-

ниях выступает гораздо яснее, чем в других, тем не менее прави-

лен, по-видимому, взгляд Джеймса, что каждое ощущение имеет

некоторую пространственность12. Каждому ощущению присуще

через раздраженный элемент известное место, а так как таких

элементов бывает большей частью несколько или много, то в из-

вестном смысле можно говорить и об объеме ощущения. В своем

изложении Джеймс часто ссылается на Геринга, который впечат-

ление накаленных поверхностей, освещенных помещений и т. д.

10 Ibid., 126.

11 Ibid., 127.

п Jutnes, The Principles of Psychology II, в особенности стр, 136 и след.

329

обозначает как объемистое. Звуки обыкновенно приводят как при-

мер совершенно непространственных ощущений. Но, по-моему,

случайное замечание Геринга^, что более низким тонам присущ

больший объем, чем высоким, следует признать правильным.

Высшие, доступные нашему слуху, тоны Кёниговских брусков

производят как раз впечатление булавочного укола, между тем

как низкие тоны как будто наполняют всю голову (или - вернее

выражаясь - все акустическое пространство). Возможность ло-

кализации, хотя и несовершенной, источника звука тоже указы-

вает на известную связь между звуковым и пространственным

ощущениями. Если параллель SIeinhauser'a между бинокуляр-

ным зрением и бинауральным слухом и не может быть проведе-

на очень далеко, все же существует здесь известная аналогия, и

локализация достигается преимущественно высокими тонами с

небольшим объемом и резче определенным местом14.

5. Физиологические пространства различных чувств охваты-

вают лишь отчасти общую физическую область. Чувству осяза-

ния доступна вся наша кожа, между тем как только часть ее

может быть видима. Зато чувство зрения, как проникающее

вдаль, имеет физически гораздо большую область. Пространст-

венная ориентировка при помощи уха неопределеннее и ограни-

чена более тесной областью, чем ориентировка глазом. Как ни

мало связаны между собой первоначально различные простран-

ственные ощущения, они все же вступают между собой в связь

через ассоциацию, и та система, которая для данного момента

имеет большую практическую ценность, всегда готова воспол-

нить и заменять другую. Пространственные ощущения различ-

ных чувств могут быть весьма близки друг другу, но едва ли

тождественны. Вряд ли необходимо эту очевидную и достаточ-

ную ассоциативную связь усиливать и дополнять допущением

общего пространственного чувства15.

6. Все пространственные ощущения имеют функцией на-

правлять движения, полезные с точки зрения сохранения инди-

вида. Эта общая функция образует также ассоциативную связь

между пространственными ощущениями. Зрячий руководится

преимущественно ощущениями и представлениями зрительного

пространства, ибо эти последние наиболее ему привычны и для

него полезны. Если ему начертить на коже медленно фигуру, в

13 Мое воспоминание об этом основано, по-видимому, на устном замечании,

так как соответствующего места в сочинениях Геринга я не нахожу.

14 Анализ ощущений (изд. С. Скирмунта), стр. 206.

15 См. другое мнение об этом E. H. Weber, ibid., стр. 85.

ззо

темноте или при закрытых глазах, он переводит ее себе в зрите-

льный образ через посредство ощущаемого движения, представ-

ляя себе, как бы он сам произвел это ощущаемое движение.

Если, например, фигура, которую кто-нибудь чертит мне на лбу,

кажется как R, то тот, кто ее чертит, должен начертить Я. У меня

на затылке другое лицо должно было бы начертить R, на коже

живота - К, чтобы я эти знаки, представляя их себе мною на-

чертанными, признал за Т?16. В обоих первых случаях я представ-

ляю себе свою голову как бы прозрачной и себя стоящим в том

же положении позади этой головы и выполняющим обычные

пишущие движения. В последнем случае я себе представляю, что

я сам пишу на коже живота и потом читаю написанное. Зрячему

очень трудно вдуматься в пространственные представления сле-

пого; но что и у слепого эти представления могут достичь высокой

степени ясности, доказывают работы слепого геометра Саундерсо-

на. Во всяком случае ориентирование осталось, по-видимому,

для него делом трудным, что доказывает его таблица, простей-

шим образом разделенная на квадратные поля. В углах и центрах

этих полей он обыкновенно натыкал булавки, головки которых

он связывал нитками. Его рассуждения, в высшей степени ори-

гинальные, должны были быть именно вследствие своей просто-

ты особенно легко понятными для начинающих. Так, теорему,

что объем пирамиды равен третьей части объема призмы с рав-

ным основанием и равной высотой, он доказал, разделив куб на

шесть равных пирамид с основанием, равным стороне куба и

вершинами в центре его17.

7. Мы должны принять, что для всех животных, в теле кото-

рых существуют три преимущественных главных направления,

как у человека, система пространственных ощущений если и не

одинаково развита, то все же весьма схожа. Сверху и снизу эти

животные не одинаковы, как спереди и сзади. Справа и слева

они, правда, кажутся одинаковыми, но геометрическая симмет-

рия и симметрия масс, существующие в интересах быстрой ло-

комоции, не должны вводить нас в заблуждение и закрывать от

нас анатомическую и физиологическую асимметрию. Если эта

последняя и не велика, то она все же ясно обнаруживается в том

факте, что животные, весьма близкие к симметрическим, прини-

мают часто характерные несимметрические формы. Стоит вспом-

нить, например, несимметрическую камбалу или симметрических

улиток без раковины, сравнительно с их несимметрическими

близкими родственниками.

16 Ibid., стр. 99.

17 Diderot, Lettre sur les aveugles.

331

8. Если мы теперь спросим, что же собственно общего имеет

физиологическое пространство с пространством геометрическим,

мы найдем лишь очень мало общих черт. И то и другое про-

странство есть многообразие трех измерений. Каждой точке гео-

метрического пространства А, В, Cf D... соответствуют точки А ',

В', С1, D'... физиологического пространства. Если С лежит

между В и А то и С ' лежит между В- ' и D '. Можно также сказать

так: непрерывному движению какой-нибудь точки в геометриче-

ском пространстве соответствует непрерывное движение соответ-

ствующей ей точки в пространстве физиологическом. Что эта

непрерывность, принятая для удобства, вовсе не должна быть обя-

зательно действительной непрерывностью ни для одного, ни для

другого пространства, мы доказывали уже в другом месте18. Если

и принять, что физиологическое пространство прирождено нам,

оно обнаруживает слишком мало сходства с пространством гео-

метрическим, чтобы в нем можно было усмотреть достаточную

основу для развитой a priori геометрии (в смысле Канта): На

основе его можно - самое большее - построить топологию19.

Почему же физиологическое пространство столь сильно отлича-

ется от пространства геометрического? Как же мы все-таки пе-

реходим постепенно от представлений первого пространства к

представлениям второго? На эти вопросы мы и попытаемся по

возможности дать ответ ниже.

9. Начнем с простого, общего телеологического рассужде-

ния. Мы раздражаем каплями кислоты различные места кожи

лягушки. На каждое раздражение она отвечает специфическим,

соответствующим раздраженному месту, защитительным движе-

нием. Качественно равные раздражения, поражая различные

элементарные органы, проникают в тело животного по различ-

ным путям и вызывают в нем процессы реакции, которые через

различные органы и различными путями вновь переходят обрат-

но в среду, окружающую животное20. То, что мы сказали о чувст-

ве кожи животного, можно сказать и о чувстве зрения и о всяком

другом. Не только защитительные движения и движения бегства,

но и наступательные движения специализируются в зависимости

от раздраженного места, от индивидуальности соответствующего

элементарного органа. ХИтоит вспомнить движения, которыми

18 Prinzipien der W?rmelehre, стр. 76.

19 См. Listing, Vorstudien zur Topologie. G?ttingen, 1847.

20 Я примыкаю здесь к взгляду, высказанному Р. Влассаком в несколько видо-

измененной и расширенной форме его. См. его прекрасный реферат: «?ber

die statischen Funktionen des Ohrlabyrinths». (Vierteljahrschr. f. wiss. Philosophie,

XVII, L, стр. 29).

332

лягушка ловит мух, или то, как едва вылупившийся цыпленок

клюет зерна. Сказанное до сих пор относится и к простым реф-

лективным реакциям как растений, так и низших животных. Но

если рефлективная реакция должна быть целесообразно направ-

ляема или изменяема, если ее место должно занять волевое дей-

ствие, то раздражения должны быть сознаны, как ощущения, и

их следы оставаться в памяти. И действительно, как это показы-

вает самонаблюдение, мы узнаем не только качество раздраже-

ния, например ожога какого-нибудь чувствительного места, но

различаем еще вместе с тем место раздражения. Движение, кото-

рым мы реагируем на раздражение, определяется обоими мо-

ментами. Мы должны поэтому принять, что в этих случаях к

качественно равным ощущениям присоединяются еще отличи-

тельные составные части, зависящие от специфической приро-

ды элементарного органа, от места раздражения, или, как говорит

Геринг, от места внимания. Самое совершенное, взаимное биоло-

гическое приспособление множественности элементарных органов

особенно ясно выражается именно в пространственном восприя-

тии.

10. Физиологическое обоснование пространственного вос-

приятия мы можем мыслить себе следующим образом. Ощущение,

которое доставляет какой-нибудь элементарный орган, зависит,

отчасти от рода (качества) раздражения; назовем эту часть чувст-

венным ощущением. Но пусть часть деятельности элементарного

органа определяется его индивидуальностью, остается одной и

той же при всяком раздражении, изменяясь лишь от органа к ор-

гану; эту часть мы назовем ощущением органа и считаем ее тож-

дественной с пространственным ощущением. Это ощущение органа

мы принимаем тем более различным, чем дальше онтогенетиче-

ское родство элементарных органов в общем их происхождении.

Ощущение органа (пространственное ощущение) может вообще

появиться только при появлении раздражения элементарного

органа; оно остается всегда одним и тем же, пока раздражается

один и тот же орган или комплекс органов, пока оживает одна и

та же связь органов. Можно сказать, что физиологическое про-

странство есть система степеней ощущений органов, которая без

чувственных ощущений не существовала бы. Но раз она уже вы-

звана изменяющимися чувственными ощущениями, она уже

остается в виде постоянной шкалы, в которой размещаются все из-

менчивые чувственные ощущения. Мы делаем здесь относительно

элементарных органов только такого рода допущения, которые мы

нашли бы вполне естественными и соответствующими данным

опыта по отношению к отдельным индивидам равного происхож-

333

дения, но различной степени родства. То, что мы пытаемся здесь

дать, есть, правда, не настоящая теория пространственного вос-

приятия, а только физиологическое описание психологически на-

блюденных фактов. Но в этом описании содержится, мне кажется,

то, что совместимо с нативистическим воззрением физиологиче-

ского пространства, с наблюдениями Вебера21, с его теорией

кругов ощущений, с учением Лотце22 о местных знаках, поско-

льку это учение носит характер физиологический, с взглядами

Геринга и с критическими замечаниями Штумпфа2Ъ. Отсюда от-

крывается, по-видимому, надежда на то, что будет достигнуто

филогенетическое и онтогенетические объяснение восприятия

пространства и - раз будут выяснены соответствующие усло-

вия - также и принципиальное физически-физиологическое

его объяснение.

11. Если система пространственных ощущений должна со-

ответствовать непосредственной биологической потребности, ру-

ководить поддерживающими жизнь реакциями тела, то ее нельзя

мыслить иной, чем какою мы ее находим. Всякая система ощу-

щений, а следовательно и система пространственных ощуще-

ний, конечна; неистощимый ряд качеств или интенсивностей

ощущения физиологически немыслим. Различные органы тела

нуждаются для руководства их функций в неодинаковой про-

странственной чувствительности. Отсюда изобилие органов, ощу-

щающих пространства на желтом пятне сетчатки, на кончике

языка и на концах пальцев, сравнительно с боковыми частями

сетчатки, с кожей плеча или спины. Чтобы удовлетворять биоло-

гической потребности, пространственные ощущения должны

быть соотносительны членам тела и ориентированы по ним. Для

нас важно различать верх и низ, переднее и заднее, правое и ле-

вое, близь и даль, - одним словом, отношения к нашему телу.

Простое соотношение мест друг к другу, как в геометрии, было

бы для нас непригодно. Далее, целесообразно то, что для более

близких, биологически более важных объектов зрения, находя-

щиеся в нашем распоряжении стереоскопические показатели

глубины гораздо богаче и тоньше развиты и что для более дале-

ких, менее важных объектов существует известная экономия в

ограниченном запасе показателей. Если бы мы захотели конст-

руировать физиологическое пространство с точки зрения целе-

21 Ibid.

22

23

Лотце изложил свое учение в различных сочинениях. (Medizinische Psychologie.

1852. - Mikrokosmos. 1856. - Wagners Handw?rterbuch der Physiologie.) См.

приложение к цитированной в следующем примечании книге Штумпфа.

Stumpf, ?ber den psychologischen Ursprung der Raumvorstellungen. 1873,

334

сообразности, исходя из пространства геометрического, оно

вряд ли многим отличалось бы от того физиологического про-

странства, которое нам дано в действительности.

12. Если это несходство между физиологическим простран-

ством и геометрическим не бросается в глаза людям, которые не

занимаются специально такими исследованиями, если геомет-

рическое пространство не кажется им чем-то чудовищным, ка-

кой-то фальсификацией пространства прирожденного, то это

объясняется из ближайшего рассмотрения условий жизни и раз-

вития человека. Пространственные ощущения направляют наши

движения, но побуждение исследовать и анализировать эти ощу-

щения сами по себе встречается лишь редко. Гораздо больший

интерес представляет для людей цель движения. После того как

приобретен первый примитивный опыт относительно (физиче-

ских) тел, расстояний и т. д., именно они привлекают к себе все

наше внимание и сосредоточивают на себе весь наш интерес.

Если бы человек не мог менять своего места и существенно из-

менять свою ориентировку, подобно прикрепленному к месту

морскому животному, он вряд ли когда-нибудь дошел бы до

представления Евклидова пространства. Его пространство отно-

силось бы к пространству Евклида приблизительно так, как

триклиническая среда к тессеральной; оно всегда оставалось бы

анизотропным и ограниченным. Произвольная локомоция тела

как целого и возможность произвольной ориентировки его содей-

ствует образованию того взгляда, что мы везде и по всем направле-

ниям можем осуществлять те же движения, что пространство везде

и по всем направлениям одинаково и что оно может быть пред-

ставляемо как беспредельное и бесконечное. Геометр говорит,

что из каждой точки пространства и во всякой ориентировке

возможны те же построения. При равномерно поступательной

локомоции повторяются всегда одни и те же изменения про-

странственных величин. То же самое происходит при постоянном

изменении ориентировки, например в случае вращения вокруг

вертикальной оси. Этим объясняется не только равномерность, но

и неистощимость, беспредельная повторяемость, способность про-

должаться далее известных данных нашего пространственного

опыта. Вместо постоянных пространственных величин объектов,

которые находит человек, когда он только двигает своими чле-

нами, являются при локомоции текучие пространственные вели-

чины. Так постепенно наш пространственный опыт все более

приближается к пространству Евклида, никогда, впрочем, не до-

стигая его вполне на этом пути.

335

13. Пространственные ощущения не только определяют дви-

жения отдельных членов, но и при известных условиях приводят

к общей локомоции. Цыпленок может смотреть на какой-нибудь

объект, клевать его или же под действием этого раздражения по-

вернуться к нему, добежать до него. Ребенок, видя цель, протя-

гивает руки, а если ее не достает, ползет и, наконец, однажды

поднимается и несколькими шагами приближается к ней. Все

такие случаи, постепенно переходящие друг в друга, мы должны

объяснять однородным образом. Побуждения к локомоции и из-

менению ориентировки могут исходить не только от оптических

раздражений, но и от химических, термических, акустических,

гальванических и т. д.,24 и могут быть и у слепых животных. И

действительно мы наблюдаем движения локомоции и ориенти-

ровки у животных слепых от природы (слепых червей), как и у

животных слепых вследствие обратного развития (кротов, пе-

щерных животных). Но определяющее движения восприятие

удаленных предметов у слепых животных и у слепых людей огра-

ничено более тесной областью.

14. Главное затруднение, на которое мы наталкиваемся при

анализе физиологического пространства, заключается в том,

что, когда мы начинаем размышлять об этом предмете, научные

геометрические представления давно уже нам привычны и зна-

комы, так что мы всюду вносим их как нечто само собой понятное.

Лучшим примером этого служит известное учение об оптических

линиях направления, которое идет от Птолемея, Кеплера и Де-

карта и только Герингом было окончательно упразднено. Тот,

кто занимается исследованиями в этой области, должен создать

в себе искусственную наивность, постараться забыть многое,

чему научился, если хочет видеть без предвзятых мыслей. Не

вдаваясь в физиологические подробности25, укажем только еще

одно общее соображение.

15. За известными раздражениями рефлекторно следуют

определенные движения членов. Эти движения в свою очередь

периферически возбуждают раздражения, которые сохраняются

в коре больших полушарий мозга как следы двигательных ощу-

щений, как образы этих движений. Когда эти образы по како-

му-нибудь поводу, вследствие, например, ассоциации, снова

оживают, они способны вызвать вновь те же движения. Точки

24 Loeb, Vergleichende Gehirnphysiologie. Leipzig, 1899. Стр. 118 и след.

25 За подробностями я вынужден отослать читателя-к общей физиологической

литературе. См. также «Анализ ощущений» (издание С. Скирмунта), стр.

119-129. См, далее статью в журнале «The Monist». Vol, XI, April 1901. Стр.

321-338,

336

пространства мы физиологически знаем как цели различных

движений, хватательных, направления взгляда и локомоции.

Указанные образы движения связаны, вероятно, с более или ме-

нее точно определенными частями мозга, т. е. где-нибудь лока-

лизированы. Весь мозг вряд ли может в равной мере участвовать

во всех них, что следует уже из различия центробежно-двигате-

льных и центростремительно-чувствительных связей. Поэтому

мы должны, по-видимому, мыслить разные цели подчиненными

в коре центрам комплексов образов движений. Точки в про-

странстве, поскольку мы рассматриваем его физиологически,

соответствовали бы тогда местам в мозгу. Пространственные

ощущения были бы ощущениями органов этих мест. Если и до-

пустить, что в главных чертах восприятие пространства предо-

бразовано во врожденной организации, индивидуальному разви-

тию все же остается еще широкий простор. Результаты этого по-

следнего могут быть весьма различны, смотря по тому, имеем ли

мы дело со слепым или зрячим индивидуумом, со скульптором,

живописцем, охотником или музыкантом26.

16. Кант утверждал: «Никоим образом нельзя себе предста-

вить, что нет никакого пространства, но легко представлять, что

в нем нет никаких предметов». В настоящее время вряд ли

кто-нибудь сомневается, что чувственные и пространственные

ощущения поступают в наше сознание и исчезают из него только

совместно друг с другом. То же должно быть, конечно, и с соот-

ветствующими представлениями. Если для Канта пространство

26 В течение индивидуального человеческого развития чувство пространства,

вероятно, значительно меняется. Во время детства у меня почти всегда быва-

ло явление микропсии, когда я ездил в вагоне железной дороги. Отдаленные

холмы, горы, здания и люди на них казались мне очень маленькими и близ-

кими моделями, прелестными ландшафтами из страны лилипутов, хотя я и

знал, что это не соответствует действительности. В более зрелом возрасте я не

мог уже снова получить такого впечатления. См. в моей книге «Анализ ощу-

щений» аналогичное наблюдение относительно чувства времени. Но чувство

пространства может испытать и весьма быстрые временные изменения. В

детстве я одно время - после тяжелой болезни - видел других людей очень

маленькими и весьма удаленными от меня, если бывал утомлен учением. Не-

которые наркотические средства, как, например, гашиш, тоже вызывают,

как известно, сильные временные изменения чувства пространства. Такие

явления вряд ли совместимы с допущением, что восприятие пространства

основано на одном устройстве элементов органов чувств и мозга, т. е. заклю-

чается как бы в простом расположении и соседстве элементов восприятия,

основанном на расположении и соседстве органов. Скорее здесь следует допус-

тить известные качества ощущения, соответствующие химическим процессам

различных степеней, а потому и доступные также химическим воздействиям. -

См. Veraguth, ?ber Mikropsie und Makropsie (Deutsche Zeitschr. f. Nervenheilkunde

von Str?mpeL Bd. 24, 1903» стр. 453). - Koster, Zur Kenntnis der Mikropsie

und Makropsie (Gwefes Archiv f?r Ophthalmol?gle* Bd, 42, 1896, Orp> 134).

337

не есть «понятие», а «чистое (одно только) воззрение a priori», то

современные исследователи весьма склонны рассматривать гео-

метрическое пространство как понятие и именно как понятие,

полученное из опыта. Одну систему пространственных ощуще-

ний мы не можем созерцать; но мы можем отвлечься от чувствен-

ных ощущений как побочных, и если недостаточно внимательно

следить за этим процессом, совершающимся легко и незаметно,

легко может возникнуть мысль, что мы достигли чистого воззре-

ния. Если пространственные ощущения не зависят от качества

раздражений, соучаствующих в их возбуждении, то мы можем о

первых высказывать утверждения (в пределах, указанных выше

на стр. 333) независимо от физического опыта, что, впрочем, мож-

но сказать и о каждой системе ощущений, например об ощущениях

цветов или звуков. Это - правильная сторона в Кантовской точке

зрения. Но для развития геометрии эта основа недостаточна, так

как для этого безусловно необходимы еще понятия и именно по-

нятия, приобретенные опытным путем27.

17. Геометрическое пространство абстрактно яснее, тогда

как физиологическое ближе к ощущению. Отсюда происходит,

что у людей, занимающихся геометрией, свойства физиологиче-

ского пространства все же дают о себе знать. На наших фигурах

мы различаем точки более близкие от более отдаленных, точки,

лежащие направо, от точек, лежащих налево, верхние от ниж-

них, и различаем все это по моментам физиологическим, хотя

геометрическое пространство не знает никаких отношений к на-

шему телу, а только взаимные отношения между точками. Среди

геометрических форм прямая линия и плоскость отличаются

своими физиологическими свойствами, и они же являются пер-

выми объектами геометрического исследования. Симметрия бро-

сается в глаза прежде всего, благодаря своим физиологическим

преимуществам и ими привлекает к себе внимание геометра. Не

обходится, без сомнения, без ее содействия и при выборе деле-

ния пространства по прямым углам. Физиологическими услови-

ями объясняется и то, что раньше других геометрических общих

свойств изучается подобие фигур. Координатная система Декар-

та знаменует собой освобождение геометрии от физиологиче-

ских влияний, но следы последних остаются еще в различении

положительных и отрицательных координат, смотря по тому, ле-

жат ли они направо или налево, наверх или вниз и т. д. Это удоб-

но и наглядно, но не необходимо. Четвертая координатная

плоскость, или определение точки расстояниями от четырех, не

27 Относительно различных видов понимания точки зрения Канта, см. К. Siegel,

?ber Raumvorstellung und Raumbegriff. Leipzig, J. A. Barth, 1905.

338

лежащих в одной плоскости, основных точек, освобождает про-

странство от постоянной помощи физиологических моментов.

При этом отпадает необходимость указания «направо» и «нале-

во», как и различения фигур, которые собственно совместимы и

симметрично совместимы. Исторические влияния физиологиче-

ской точки зрения на развитие геометрии устранить, конечно,

невозможно.

18. Даже при наибольшем своем приближении к простран-

ству Евклида физиологическое пространство еще немало отлича-

ется от него. Это обнаруживается и в физике. Различие правого

и левого, переднего и заднего наивный человек легко преодоле-

вает, но не так легко преодолевает он различие верха и низа,

вследствие сопротивления, которое оказывает в этом отношении

его геотропизм. Чтобы выразить невозможность какой-нибудь

вещи, Сосикл Коринфский говорит у Геродота (V, 92) так: «Ско-

рее небо будет под землею, а земля будет парить в воздухе над

небом, чем...». То, что отец церкви Лактанций говорил против

антиподов, против людей, висящих головами вниз, и переверну-

тых вершинами вниз деревьев, с чем боролся Августин и что по-

сле многих столетий казалось все еще непонятным наивным

людям, уясняется для нас из свойства физиологического про-

странства. У нас меньше оснований поражаться ограниченно-

стью противников учения об антиподах, чем восхищаться силой

абстракции у Архита Тарентского, Аристарха из Самоса и других

античных мыслителей.

ГЛАВА 21

К ПСИХОЛОГИИ И ЕСТЕСТВЕННОМУ

РАЗВИТИЮ ГЕОМЕТРИИ1

1. Для животного организма имеют прежде всего величайшее

значение взаимные отношения частей собственного тела и отно-

шения физических объектов к частям этого тела. На них покоит-

ся физиологическая система пространственных ощущений. Более

сложные условия жизни, при которых простое и прямое удов-

летворение потребностей уже невозможно, вызывают усиление

интеллекта. Физические и в особенности пространственные от-

ношения тел друг к другу могут получить тогда посредственный,

косвенный интерес, значительно превосходящий интерес к мгно-

венным ощущениям. Отсюда развивается пространственная кар-

тина мира, сначала инстинктивно, потом ремесленным, так

сказать, путем и наконец научно, в форме геометрии. Отноше-

ния тел суть отношения геометрические постольку, поскольку

они определяются пространственными ощущениями или нахо-

дят в таковых свое выражение. Как без ощущений термических

не было бы учения о теплоте, так без пространственных ощуще-

ний не было бы и геометрии. Но и учение о теплоте и геометрия

нуждаются еще в опыте относительно тел, т. е. оба должны вый-

ти за тесные пределы той чувственной области, которая состав-

ляет их специальные основы.

2. Самостоятельное значение отдельное ощущение имеет то-

лько на самой низкой ступени животной жизни, например при

рефлективном движении, при устранении неприятного раздра-

жения кожи, при хватательном рефлексе лягушки и т. д. На бо-

лее высокой ступени развития внимание направляется не на

одни только пространственные ощущения, но на те тесно свя-

занные между собой комплексы чувственных и пространственных

ощущений, которые мы называем телами. Тело возбуждает наш

интерес и есть цель нашей деятельности. Но род этой деятельно-

сти определяется между прочим и тем, где это тело находится,

близко ли или вдали, наверху или внизу и т. д., т. е. пространст-

венными ощущениями, которые его характеризуют. Этим опре-

деляется как, через какую реакцию тело может быть достигнуто:

нужно ли для этого протянуть руку, сделать большее или мень-

шее число шагов, бросить что-нибудь и т. д. Количество ощу-

1 Статья эта была уже напечатана в журнале «The Monist», July 1902.

340

щающих элементов, которые возбуждаются внешним телом,

количество мест, которые покрываются им, объем тела соответ-

ствует, при прочих равных условиях, степени удовлетворения

органической потребности и имеет поэтому биологическое зна-

чение. Если наши зрительные и осязательные ощущения вызы-

ваются сначала только поверхностью тел, то затем мощные

ассоциации побуждают именно примитивного человека пред-

ставлять себе больше или, как он полагает, воспринимать боль-

ше, чем он действительно наблюдает. Место, замкнутое в те

поверхности, которые он одни только и воспринимает, он пред-

ставляет себе материально заполненным. Особенно сильно про-

исходит это тогда, когда он усматривает и схватывает тела, до

известной степени уже известные. Для того, чтобы сознать, что

только поверхность воспринимается, необходима уже значитель-

ная абстракция, которой невозможно предполагать у человека

примитивного.

3. Важны в этом отношении и своеобразные типические

формы объектов добычи и объектов привычных. Особые формы,

т. е. особые комплексы пространственных ощущений, с которы-

ми человек знакомится в своих сношениях с окружающей его

средой, уже чисто физиологически охарактеризованы недву-

смысленным образом. Прямая линия и плоскость, круг и шар

отличаются от других форм своей физиологической простотой.

Формы симметрические и геометрически подобные обнаружи-

вают свою родственность уже своими чисто физиологическими

свойствами. Многообразие фигур, известных нам из физиологи-

ческого опыта, не мало. При занятии телесными объектами при-

соединяется еще, обогащая знания, физический опыт.

4. Грубый физический опыт заставляет нас приписывать те-

лам известное постоянство. Если этому не противоречат особые

соображения, мы принимаем это постоянство и для отдельных

признаков комплекса - «тело». Мы представляем себе постоян-

ными и цвет, твердость, форму и т. д. В особенности мы считаем

тело пространственно постоянным, неразрушимым. Это предпо-

ложение пространственного постоянства, пространственной суб-

станциональности именно и находит выражение в геометрии.

Физиологически-психологическая организация уже сама по себе

склонна выдвигать постоянства. Ибо общие физические посто-

янства должны и в ней найти свое выражение, так как и она

сама, ведь, представляет собой случай физического тела; особые

же физические постоянства оказывают свое действие при при-

способлении вида. Заставляя оживать образы воспринятых тел в

первоначальных их формах и первоначальной их величине, па-

341

мять обусловливает узнавание этих тел и таким образом образует

первую основу впечатлений постоянства. Но геометрия нужда-

е±ся еще в специальном индивидуальном опыте.

5. Тело ^удаляется от наблюдателя А, быстро перемещенное

из среды ГОНъ среду MNO. Для оптического наблюдателя А тело

К становится при этом меньше и в общем - другой формы. Но

для оптического наблюдателя В, который перемещается вместе с

телом К и сохраняет по отношению к нему прежнее положение,

тело достается неизмененным. Аналогичное можно сказать и о

прикасающемся к телу ЛГгаптическом наблюдателе, хотя здесь и

отпадает перспективное уменьшение, потому что чувство осяза-

ния вообще не есть чувство, действующее на расстоянии. Вос-

приятия наблюдателей А и В не должны противоречить друг

другу. Это требование отсутствия противоречий становится осо-

бенно настоятельным потому, что в роли А и В может быть попе-

ременно один и тот же наблюдатель. Противоречия исчезают,

когда приписывают телу К известные, постоянные пространст-

венные свойства, не зависящие от положения его в отношении

других тел. Признают, что пространственные ощущения наблю-

дателя А, определяемые телом К, зависят от других пространствен-

ных ощущений (от положения К в отношении к телу наблюдателя

А). Но эти пространственные ощущения, определяемые телом К

в наблюдателе А, не зависят от других пространственных ощуще-

ний, которые характеризуют положение К относительно В или

относительно FGH... MNO. В этой независимости и заключается

то постоянное, о котором у нас идет речь. Таким образом основ-

ная предпосылка геометрии покоится на опыте, хотя и на опыте

идеализированном.

6. Чтобы упомянутый здесь опыт выступил с полной опреде-

ленностью и бросался в глаза, тело ^должно быть так называемым

твердым телом. Если пространственные ощущения, связанные с

тремя различными чувственными ощущениями, остаются неиз-

мененными, то тем самым дано неизмененное состояние всего

комплекса пространственных ощущений, которые определяют-

ся твердым телом. Эта определенность вызываемых телом про-

странственных ощущений тремя элементами этих ощущений

характеризует, следовательно, физиологию ощущений твердого

тела. Это применимо как к зрению, так и осязанию. При этом

определении твердости мы не думаем о физических условиях

твердости, что заставило бы нас перейти в различные другие чув-

ственные области, а только о факте данном в чувстве простран-

ства. Мы рассматриваем здесь всякое тело как геометрически

твердое, пока оно действительно имеет указанное свойство, сле-

342

довательно, и жидкость, пока ее части не перемещаются относи-

тельно друг друга.

7. Хотя постоянно и с полным основанием указывают, что

геометрия занимается не физическими, а только идеальными

объектами, однако, с другой стороны, нельзя сомневаться, что

она обязана своим происхождением интересу к пространствен-

ным отношениям физических тел. Следы этого происхождения

ясно видны в ней, и только принимая их во внимание, мы впол-

не поймем ход ее развития. Наше знание о пространственных

отношениях тел основано на сравнении вызываемых ими про-

странственных ощущений. Мы приобретаем достаточный про-

странственный опыт и без всяких искусственных или научных

вспомогательных средств. Мы можем, например, приблизитель-

но судить, вызовут ли твердые тела, которые мы воспринимаем

рядом друг с другом в разных положениях и на различных рассто-

яниях, приведенные последовательно в одинаковое положение,

равные или неравные пространственные ощущения. Мы при-

близительно знаем, может ли одно тело покрыть другое, можно

ли известной палкою, лежащей горизонтально, достать извест-

ной высоты. Но пространственные ощущения зависят от физио-

логических обстоятельств, которые никогда не могут быть вполне

тождественными для сравниваемых предметов. Строго говоря,

след всякого ощущения в нашей памяти следовало бы всегда

сравнивать с настоящим ощущением. Если поэтому дело идет о

точном определении пространственных отношений тел друг к

другу, должно найти такие признаки их, которые были бы воз-

можно более независимы от неподдающихся контролю физио-

логических обстоятельств. Достигается это сравнением тел с

телами. Покрывает ли одно тело А другое тело В, может ли одно

из них быть перенесено как раз на то место, которое занимает

другое, т. е. вызывают ли оба они при равных условиях одни и те

же пространственные ощущения, - все это может быть установ-

лено с большой точностью. Мы считаем такие тела пространствен-

но совместимыми, геометрически во всех отношениях равными.

Род ощущений не имеет при этом существенного значения; речь

идет здесь только о равенстве или неравенстве ощущений. Если

оба тела твердые, весь опыт, полученный нами с одним более

подвижным и удобным масштабом А, мы можем перенести и на

другой масштаб В. К тому обстоятельству, что и невозможно, и

не нужно для каждого тела пользоваться особым телом для срав-

нения или масштабом, мы еще вернемся ниже. Самыми удобны-

ми телами для сравнения, правда, только для грубых сравнений,

и неизменяемость которых при передвижениях мы постоянно

343

наблюдаем, являются наши руки и ноги. Названия древнейших

мер показывают, что первоначальные измерения производились

именно шагами, локтями и т. д. С введением общепринятых

условных и сохраняемых вещественных мер начинается период

большей точности измерения; принцип однако остается тем же

самым. Масштаб делает возможным сравнение тел, перемеще-

ние которых трудно или практически невозможно.

8. Было уже указано, что наибольший интерес представляют

для нас не пространственные, а прежде всего материальные свой-

ства тел. Это обстоятельство обнаруживается, без сомнения, и в

начатках геометрии. Объем тела инстинктивно рассматривается

как количество материальных свойств и в качестве такового об-

разует объект спора задолго до всякого более глубокого геомет-

рического понимания. Благодаря этому, сравнение, измерение

объемов получает особое значение и становится одной из пер-

вых и важнейших задач примитивной геометрии. Первые измере-

ния объемов производились, вероятно, при помощи мер емкости

для жидкостей и плодов. Целью их, следовательно, было удобное

определение количества однородной материи или совокупности

(числа) однородных, однообразных (тождественных) тел. Так,

вероятно, и пространство помещений для хранения запасов

(кладовых) первоначально измерялось совокупностью, числом

однородных тел, которые они могли вмесить. Измерение объема

посредством единицы объема есть, по всей вероятности, идея

гораздо более позднего происхождения и могла развиться, без

сомнения, только на более высокой ступени абстракции.

9. Вероятно и поверхности первоначально измерялись сово-

купностью (числом) плодов или полезных растений, посевом,

который могло вместить данное поле, а иногда и работой, кото-

рая для этого требовалась. Измерение поверхности посредством

другой поверхности получалось здесь легко и наглядно, когда

рядом оказывались поля равной величины и равной формы. При

этом, конечно, не сомневались, что поле, состоящее из n полей

равной величины и формы, имеет и в « раз большую хозяйствен-

ную ценность. Но мы не будем низко оценивать значения этого

умственного шага, если вспомним о неправильностях в измере-

ниях поверхностей, которые встречаются у египтян2 и даже еще

у римских Agrimensores (землемеры)3. Когда персидский «сверх-

человек» Ксеркс4 захотел пересчитать свои полчища, которые

2 Eisenlohr, Ein mathematisches Handbuch der alten ?gypter. Papyrus Rhind. Leipzig,

1877.

M. Cantor, Die r?mischen Agrimensoren. Leipzig, 1875.

4 fferOdoi, VII, 22, 56, 103, 223k

344

ему предстояло «уничтожить» и которые он бичами гнал через

Геллеспонт против греков, он поступил следующим образом:

10 000 человек были тесно установлены на одном месте, послед-

нее было ограждено и каждый последующий отряд войска, или

скорее орды рабов, который заполнял огороженное место, счи-

тался в 10 000 человек. Здесь перед нами обратное применение

мысли, что поверхность измеряется совокупностью (числом)

равных, тождественных, лежащих рядом друг с другом тел, по-

крывающих эту поверхность. С течением времени начинают

оставлять без внимания, сначала инстинктивно, а потом созна-

тельно, измерение высоты этих тел, чем совершается переход к

измерению поверхности посредством единицы поверхности. Ана-

логичный шаг к измерению объема посредством единицы объема

требует гораздо более развитого, геометрически более вышко-

ленного воззрения, совершается позже и в настоящее время еще

мало знаком народу.

10. Древнейшая оценка больших расстояний посредством

дней или часов пути и т. д. направила, вероятно, внимание на

труд, работу, время, необходимые для преодоления этих рассто-

яний. Но если измеряют длину многократным наложением рук,

ног, локтей, масштаба, измерительной цепи, то это, собственно

говоря, есть измерение посредством перечисления равных тел,

т. е. собственно опять-таки измерение объема. Странность этого

взгляда в ходе нашего изложения исчезнет. Затем, сначала ин-

стинктивно, а потом сознательно отвлекаются от обоих попереч-

ных измерений, употребленных для измерения тел, и таким

образом совершается переход к измерению длины посредством

единицы длины.

11. Определяют обыкновенно поверхность как границу объ-

ема. Так поверхность металлического шара есть граница между

металлом и воздухом, она не принадлежит ни металлу, ни возду-

ху; приписывают ей только два измерения. Аналогично с этим,

линия, имеющая одно измерение, есть граница поверхности, на-

пример экватор есть граница поверхности полушария. Не имею-

щая измерений точка есть граница линии, например дуги круга.

Движением точки образуется линия, имеющая одно измерение,

движением этой линии образуется поверхность, имеющая два

измерения, и движением этой последней - трехмерное телесное

пространство. При развитой абстракции это воззрение не пред-

ставляет никаких затруднений. Оно страдает только тем недо-

статком, что не вскрывает естественного пути, которым пришли

к этим абстракциям, а, напротив того, искусственно затушевы-

вает его. По этой причине здесь все же чувствуется некоторая

неловкость, когда с этой точки зрения приходится, например,

345

r

определять меру и единицу поверхности после того, как уже по-

кончено с измерением длины5.

12. Более однородное понимание получается, если рассмат-

ривать всякое измерение, все равно, идет ли речь об объемах, по-

верхностях или линиях, как счет пространства посредством

лежащих рядом друг с другом, пространственно тождественных

или, по крайней мере, рассматриваемых как таковые тел. Повер-

хности можно рассматривать как телесные листы равной, посто-

янной, произвольно малой, исчезающей толщины, а линии -

как шнуры или нити постоянной, исчезающей толщины. Точка

становится тогда небольшим телесным пространством, измере-

ния которого произвольно принимаются во внимание, независимо

от того, принадлежит ли она другому пространству, поверхности

или линии. Употребленные для счета тела можно, в зависимости

от потребности, выбирать произвольно малыми и произвольной

подходящей формы. Ничто нам не мешает эти представления,

полученные означенным естественным путем, обычным обра-

зом идеализировать в абстракции, отвлекаясь от толщины лис-

тов, изображающих поверхности, и нитей, изображающих линии.

Обычное, несколько боязливое изложение основных понятий

геометрии объясняется тем, что метод бесконечно малых вели-

чин, освобождающий от случайных исторических, элементар-

ных оков, стал обнаруживать свое действие лишь в позднюю

стадию развития геометрии и что еще гораздо позже (работами

Гаусса) снова была найдена свободная от предвзятых взглядов

связь геометрии с науками физическими. Но совершенно непо-

нятно, почему же этот более правильный взгляд теперь, по край-

ней мере, не применить к элементам. Уже Лейбниц указывал, что

более рационально начинать геометрические определения с тела6.

13. Мысль об измерении пространств, поверхностей и линий

телами стала совершенно чуждой нашей утонченной геометрии.

Однако эта мысль не есть только предтеча идеализированных

методов. Она играет важную роль в психологии геометрии, и мы

находим ее применения в мастерской исследователя и изобрета-

теля и в поздних стадиях развития. Метод неделимых Cavalieri

кажется наиболее понятным, если принять во внимание эту

мысль. Согласно собственным его объяснениям нужно пред-

ставлять себе подлежащие сравнению поверхности (квадратуры)

заполненными произвольно многими равно отстоящими парал-

лельными нитями, наподобие ткани, а подлежащие сравнению

Holder, Anschauung u. Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 18.

Письмо к Джордано (Leibniz, Mathem. Schriften, herausg. v. Gerhardt. Berlin,

1849. l Abt., I. Bd., стр. 199).

346

пространства (кубатуры) заполненными параллельными листа-

ми книги. Общая длина всех нитей может тогда служить мерой

поверхностей, а общая поверхность всех листов - мерой объе-

мов, причем в точности можно идти как угодно далеко. При до-

статочно густом расположении и выборе подходящей формы

число равноотстоящих равных тел может в такой же мере давать

измерительные числа для поверхностей и пространств, как число

тождественных тел, которые абсолютно покрывают поверхности

или абсолютно густо наполняют пространства. Если представить

себе, что эти тела сжимаются в линии (прямые) и в поверхности

(плоскости), то получается деление поверхностей на элементы

поверхности и деление пространств на элементы пространства,

т. е. обычное измерение поверхностей поверхностями и про-

странств пространствами. Недостаточное изложение Cavalieri,

мало приспособленное к уровню развития современной ему гео-

метрии, вызвало очень суровые приговоры историков геометрии

над его прекрасными и плодотворными идеями7. Если еще Гелъ-

мголъц в своей выдающейся юношеской работе8, в момент пере-

веса фантазии над критикой, рассматривает поверхность как

сумму лежащих в ней линий (ординат), то это показывает, как

глубоко в нас засело первоначальное естественное воззрение и

как легко оно каждый раз снова возрождается9.

Weissenborn, Prinzipien der h?heren Analysis in ihrer Entwicklung. Halle, 1856. -

Gerhardt, Entdeckung der h?heren Analysis. Halle, 1855, стр. 18 и след. - M.

Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1892, II Bd.

Helmholz, Erhaltung der Kraft. Berlin, 1847 стр. 14.

Для читателей, далеких от геометрии, мы объясним метод Cavalieri простым

примером. Представим себе, что мы из блока бумажных листов вырезываем

прямой цилиндр с горизонтальным круглым основанием и вписываем в

цилиндр конус с тем же основанием и той же высотой. В то время, как все

листы, вырезанные цилиндром, равны, листы, принадлежащие конусу,

увеличиваются пропорционально квадратам удаления от вершины. Из эле-

ментарной геометрии мы в данном случае узнаем, что объем конуса есть

третья часть объема цилиндра. Отсюда сейчас же получается квадратура па-

раболы. Около части параболы описывается прямоугольник, проходящий

через ось ее, касательную к вершине, и соответствующие противоположные

стороны. Если представить себе этот четырехугольник покрытым системой

нитей, параллельных к х, то в каждой

из нитей, параллельных стороне ч

прямоугольника, часть нити, лежа-

щая вне отрезка параболы, пропор-

циональна у". Поэтому поверхность, у

находящаяся вне отрезка параболы,

относится к поверхности всего пря-

моугольника как 1:3, т. е. так, как

объем конуса относится к объему ци-

линдра. X

347

14. Итак, общий опыт свидетельствует, что существуют по-

движные тела, которым, несмотря на их подвижность, должно

приписать пространственное постоянство в изложенном выше

смысле, - свойство, остающееся тождественным и образующее

основу всех понятий о мерах. Но, кроме того общего опыта, на-

копляется - сначала инстинктивно, а потом, при профессиона-

льном занятии геометрией, и сознательно - еще разнообразный

специальный опыт, полезный для геометрии. Так как этот опыт

отчасти получается в неожиданной форме, отчасти согласуется с

собою, но отчасти же при неосмотрительном применении его

обнаруживает как будто парадоксальные противоречия, то он

смущает наше мышление и побуждает отыскивать для него сис-

тематическую, логическую связь. К изучению этих процессов

мы теперь и обратимся.