Часть 5.

15. Если бы нам и не было известно замечание Геродота10, в

котором он сводит происхождение геометрии к измерению по-

лей египтянами, и если бы сообщение Эвдема о первоначальной

истории геометрии, известное в извлечении Прокла, совершенно

затерялось11, мы все же не могли бы сомневаться в донаучной

стадии развития геометрии. Первые геометрические воззрения

были получены случайно и без специальных исследований, пу-

тем ремесленного опыта при различных занятиях. Произошло

это в то время, когда научный дух, интерес к связи, существую-

щей между различными элементами этого опыта, был еще очень

мало развит. Это ясно заметно даже в нашей скудной истории

начатков геометрии, но еще яснее видно из общей истории куль-

туры, доказывающей существование ремесленных геометриче-

ских приборов в такую раннюю и варварскую эпоху, для которой

существование научных стремлений допустить невозможно.

16. У всех диких племен мы находим плетеные работы, в

которых, как и в их рисунках, картинах и резных изделиях, пре-

обладают орнаментальные мотивы, состоящие из простейших

геометрических форм. Объясняется это тем, что именно эти мо-

тивы соответствуют, как рисунки наших детей, упрощенному,

типическому, схематическому представлению объектов, которые

За естественность взгляда Cavalieri говорит то, что и пишущий настоящие

строки, будучи гимназистом и слыша о высшей геометрии, но ничего в ней

не зная, пришел к сходным воззрениям, что, конечно, в XIX столетии было

уже нетрудно. С помощью этих воззрений, он сделал много маленьких - ра-

зумеется, давно известных - открытий, нашел теорему Gw/c/m'a, вычислил

несколько тел вращения Кеплера и т. д.

Herodot, II, 109.

James Gow, History of Greek mathematics: Cambridge, 1884, стр. 134.

348

Фиг. 11

они желали воспроизвести, а с другой стороны именно такие мо-

тивы всего легче могли быть осуществлены при помощи перво-

бытных инструментов. Такой орнамент, состоящий из ряда

треугольников одинаковой формы, но разным образом поверну-

тых, или из ряда параллелограммов (фиг. 11), легко приводит к

наблюдению, что сумма трех углов треугольника образует два

прямых угла. Это наблюдение не могло ускользнуть и от зани-

мавшихся глиняными и каменными работами ассирийцев, егип-

тян, китайцев, греков и т. д., когда они из разноцветных камней

одинаковой формы составляли свои обычные мозаики. Положе-

ние пифагорейцев, что плоскость вокруг точки вполне заполняется

шестью равносторонними треугольниками, четырьмя квадратами

и тремя правильными шестиугольниками, указывает на такой же

источник познания12. Тот же источник обнаруживается и в древ-

нем греческом доказательстве суммы углов любого треугольника

разделением его на прямоугольные треугольники (проведением

высоты) и дополнением полученных частей до прямоугольни-

ков13. Подобный же опыт получается при различных других слу-

чаях. Землемер, например, обходит многоугольный участок зем-

ли. Вернувшись к первоначальному пункту своего пути, он

находит, что сделал полный оборот в четыре прямых угла. В слу-

чае треугольника из шести прямых углов (фиг. 12), образован-

ных при всех трех вершинах на внутренних сторонах трех сторон,

остается еще, после вычитания трех углов поворота а, Ъ, с, два

прямых для суммы внутренних углов. Такой вывод мы находим у

Thibaut^', современника Гаусса. Если чертежник, чтобы описать

треугольник, вращает линейку последовательно к сторонам со-

ответствующего внутреннего угла и в том же направлении, то,

прибыв обратно к первой стороне, он находит, что сторона ли-

нейки, которая до вращения лежала на наружной стороне треу-

гольника, после вращения лежит на внутренней его стороне

(фиг. 13). Описывая внутренний угол в своем вращении в одном

12 Теорему эту Прокл приписывает пифагорейцам, см. Gow, History, стр. 143.

13 Hankel, Geschichte der Mathematik. Leipzig 1874, стр. 96.

Thibaut, Grundriss der reinen Mathematik. G?ttingen, 1809, стр. 177. - Возмож-

ные возражения против этого вывода, как и последующих, мы оставляем

пока без внимания.

349

Фиг. 12 Фиг. 13

и том же направлении, линейка при этой процедуре совершила

половину оборота15. Тейлор1** замечает, что к тому же опыту могут

привести складки какой-нибудь материи или бумаги. Если сло-

жить треугольный кусок бумаги указанным на фиг. 14 образом,

то получается двойной четырехугольник, двойная поверхность

которого соответствует, следовательно, поверхности треугольни-

ка. Сумма углов, совпадающих у точки а, равна двум прямым уг-

лам. Хотя этим способом и достигаются весьма удивительные

результаты, тем не менее вряд ли можно допустить, что эти про-

цедуры имели исторически плодотворное значение для развития

геометрии. Этот материал имеет слишком ограниченное приме-

нение и занятые им рабочие слишком мало вынуждены к точно-

му наблюдению17.

Фиг. 14

17. Итак, познание, что сумма углов в плоском треугольнике

составляет определенное количество, именно равно двум пря-

мым, получено путем опыта, не иначе, чем, например, правило

15 Заметил это и автор при черчении.

16 Tylor, Einleitung in das Studium der Anthropologie. Braunschweig, 1883, стр. 383.

17 См. Z B. Sundara Row, Geometrie Exercises in Paper-Folding. Chicago, 1901.

350

рычага или закон Бойля - Мариотта. Конечно, одним глазоме-

ром или даже измерением с помощью самых лучших инструмен-

тов нельзя узнать того, что сумма углов абсолютно равна двум

прямым. Но так же обстоит дело и с правилом рычага и с зако-

ном Бойля - Мариотта. Все эти положения представляют идеали-

зированный схематический опыт, ибо измерения всегда обнаружат

небольшие отклонения от них. Но в то время как закон Бойля -

Мариотта при дальнейших опытах скоро оказывается законом,

установленным приблизительно, и нам приходится его видоиз-

менять, чтобы точнее изобразить факты, правило рычага и тео-

рема о сумме углов треугольника до того точно сходятся всегда с

фактами, как только можно ожидать при неизбежных ошибках

опыта, и то же самое можно утверждать обо всех выводах, для

которых они служат предпосылками.

Фиг. 15

18. Когда во время мощения треугольники равные и одина-

ковой формы располагаются своими сторонами рядом друг с

другом по одним прямым (фиг. 15), это опять может привести к

весьма важному геометрическому познанию. При перемеще-

нии треугольника в плоскости и вдоль прямой линии (т. е. без

вращения) все точки его и, следовательно, все крайние точки

описывают равный путь. Таким образом одна и та же крайняя

прямая дает в обоих положениях треугольника пару прямых ли-

ний, все точки которых находятся друг от друга на равном рас-

стоянии. В то же время операция эта обеспечивает равенство

углов с линией передвижения на той же стороне обеих прямых

перемещаемой пары. Таким образом сумма внутренних углов,

прилегающих к той же стороне линии передвижения, определя-

ется как равная двум прямым. Этим получается теорема Евкли-

да о параллельных линиях. Необходимо еще прибавить, что

возможность осуществлять такой способ мощения на произво-

351

льно большом расстоянии могла дать особенно почувствовать

рассматриваемое здесь познание. Перемещение треугольника

вдоль линейки осталось до настоящего времени самым про-

стым и естественным способом проводить параллельные ли-

нии. Вряд ли необходимо еще прибавлять, что теоремы о сумме

углов треугольника и о параллельных линиях взаимно связаны

между собой, представляя только различные формы одного и

того же опыта.

19. Упомянутые выше каменщики легко должны были усмот-

реть, что правильный шестиугольник можно получить из равно-

сторонних треугольников. Сразу были получены простейшие

случаи деления круга, деление его на шесть частей радиусом, де-

ление на три части и т. д. Из цилиндрического древесного ствола

можно вследствие всесторонней симметрии круга бесконечно

многообразными способами вырезать бревно с прямоугольным

симметричным поперечным разрезом, грани которого лежали

бы в поверхности цилиндра, что плотник находит почти инстин-

ктивно, без всяких соображений. Диагонали прямоугольника

должны при этом проходить через центр круга. По мнению Ган-

келя1* и Тейлора19, этим путем, вероятно, было впервые узнано,

что угол, лежащий в полукруге, есть прямой.

20. Натянутая нить дает нам своеобразное воззрение пря-

мой линии. Последняя характеризуется ее физиологической

простотой. Все части ее обусловливают одинаковое ощущение

направления, каждая точка вызывает ощущение средины про-

странственных ощущений соседних точек, каждая часть, как

бы она ни была мала, похожа на какую угодно большую часть.

Этой физиологической характеристики мало, конечно, геомет-

ру, но она оказала влияние на определение прямой у многих

геометров20. Чтобы стать геометрически пригодным, нагляд-

ный образ должен однако быть обогащен физическим опытом

над телесными объектами. Пусть веревка привязана одним

концом у А, а другой конец продет у В через кольцо. Если тя-

нуть за этот конец, мы видим, как у В появляются части верев-

ки, которые раньше лежали между А и В, вся же веревка

приближается при этом к форме прямой. Чтобы получить меж-

ду А и В прямую, нужно*меньшее число равных частей веревки,

тождественных ее телец, чем для того, чтобы получить между

ними кривую. Неверно утверждение, будто прямая познается

18 Hankel, Gesch. d. Mathemat, стр. 206-207.

19 Tylor, ibid.

20 Euklid, Elemente. I. Def. 3.

352

нами как кратчайшее расстояние через одно только воззрение.

Правда, можно правильно и надежно воспроизвести в пред-

ставлении одновременное изменение формы и длины веревки,

но это есть оживление прежнего опыта над телами - мыслен-

ный эксперимент. Одно только неподвижное созерцание про-

странства никогда не могло бы привести к такому познанию.

Измерение есть опыт с телесной реакцией, эксперимент совме-

щения. Созерцаемые, представляемые линии различных на-

правлений и длины вообще невозможно прямо накладывать

друг на друга. Возможность такого приема должна быть испы-

тана на чем-либо материальном, что считается неизменным.

Если иногда приписывается даже животным инстинктивное

знание о прямой как кратчайшем расстоянии, то это ошибка.

Если на животное действует какое-нибудь притягивающее его

раздражение и под действием его животное повертывается так,

что его плоскость симметрии проходит через раздражающий

объект, то прямая линия есть здесь путь движения животного,

однозначно определяемый раздражением. Это ясно вытекает из

исследований Лёба о тропизмах у животных.

21. Что две стороны треугольника больше третьей, учит нас

не одно воззрение. Если две стороны треугольника накладывать

на третью, вращая их около углов, прилежащих к основанию,

мы действительно уже в представлении видим, что эти стороны,

двигаясь свободными концами по окружности, наконец, ча-

стью покрывают друг друга, т. е. заполняют больше, чем третья

сторона. Но кто ни разу не видел этого с телесными объектами,

тот не будет иметь и такого представления. Искусственным пу-

тем Евклид21 выводит то же познание из того, что в треуголь-

нике большая сторона связана с большим противолежащим

углом. Настоящим источником познания является здесь опыт

движения телесной стороны треугольника; он только старате-

льно прикрыт здесь, и не в пользу ясности и краткости, формой

вывода.

22. Упомянутыми опытами свойства прямых не исчерпыва-

ются. Если проволоку любой формы положить на два гвоздя,

укрепленных в доске, и перемещать при постоянном соприкос-

новении с гвоздями, форма и положение частей проволоки, нахо-

дящихся между гвоздями, постоянно изменяются. Чем проволока

будет прямее, тем меньше становится это изменение. Прямая

проволока перемещается при этом процессе в себе самой. Вра-

щаемая вокруг двух своих неподвижных точек, кривая проволока

21 Euklid, Elemente, i. Prop. 20.

12 Познание и заблуждение 353

постоянно изменяет свое положение, тогда как прямая сохраняет

всегда одно и то же положение, вращается в себе самой22. Поэ-

тому, если мы определяем прямую линию как такую линию, ко-

торая вполне определяется двумя своими точками, то в этом

понятии не заключается ничего кроме идеализации полученного

указанным опытом представления, которое с (физиологиче-

ским) воззрением далеко еще не дано.

23. Подобно прямой линии и плоскость физиологически

уже характеризуется своей простотой. Она является везде одина-

ковой23. Каждая точка ее вызывает ощущение середины между

пространственными ощущениями соседних точек. Каждая ма-

лая часть ее похожа на любую большую. Но для того чтобы все

это получило геометрическое значение, должен присоединиться

опыт над телесными объектами. Подобно прямой линии плос-

кость физиологически симметрична, когда лежит в средней ли-

нии или к ней перпендикулярна. Но для того чтобы можно было

симметрию признать постоянным геометрическим свойством

плоскостей и прямых линий, они должны быть даны уже как по-

движные, неизменяемые, телесные объекты. Связь физиологи-

ческой симметрии с метрическими свойствами нуждается и в

особом метрическом доказательстве.

24. Чтобы получить телесную плоскость, шлифуют три тела

друг другом до получения трех поверхностей А, В, С, накладыва-

ющихся друг на друга, что (как видно на фиг. 16) невозможно

для поверхностей выпуклых или вогнутых, а возможно только

для плоских поверхностей. При трении именно исчезают выпук-

лые и вогнутые места. Подобным же образом можно с помощью

несовершенной линейки получить более совершенную прямую,

поступая так: приложив линейку концами к точкам А, В и прове-

дя линию, вращают ее плоскость на 180° и, снова приложив к

точкам А, В, проводят линию; средняя линия между двумя про-

веденными будет более совершенной прямой, с которой можно

повторить тот же прием. Раз шлифовкой тел получена плос-

кость, т. е. поверхность, которая везде и на обеих сторонах имеет

ту же форму, то открываются дальнейшие опыты. Две такие

плоскости, наложенные друг на друга, показывают, что плос-

22

23

Лейбниц в письме к Джордано, отпечатанном в его математических сочинени-

ях (Leibnizens math. Schriften, herausgegeben von Gerhardt, Berlin 1849, I. Abt.,

Bd. 1. Стр. 195, 196) пользуется последним свойством для определения пря-

мых линий. Способность перемещаться в себе самой прямая линия разделяет

с кругом и спиралью кругового цилиндра. Вращение в себе самой и опреде-

ляемость двумя точками суть свойства, исключительно ей принадлежащие.

См. Euklid, Elemente I. Definition 7.

354

в

Фиг. 16

кость может скользить и вращаться в себе, подобно прямой ли-

нии. Нитка, натянутая между двумя точками плоскости, лежит

вся в этой плоскости. Ткань, натянутая на ограниченную часть

плоскости, совершенно с ней совпадает. Таким образом плос-

кость представляет собой минимум поверхности в пределах ее

ограничения. Если наложить плоскость на два острия, ее можно

вращать вокруг линии, соединяющей эти два острия; третье ост-

рие, лежащее вне этой прямой, делает плоскость неподвижной,

не поддающейся вращению, и, следовательно, определяет ее

вполне. И Лейбниц, действительно, самым естественным образом

пользуется данными опыта над телесными объектами, когда в

цитированном выше письме к Джордано определяет плоскость

как поверхность, разделяющую безграничное тело на две совме-

стные части, а прямую как линию, разделяющую безграничную

плоскость на две такие части24.

25. Если обратить внимание на симметрию плоскости к себе

самой и взять по обе стороны ее по точке, симметричной друг

другу, то находим, что каждая точка плоскости отстоит на рав-

ное расстояние от этих двух точек, т. е. приходим к Лейбницев -

скому определению плоскости25. Однообразие и симметричность

прямых линий и плоскостей связаны с абсолютной минимально-

стью их длины и поверхности. Данным границам должен соответ-

24

25

«Et difficulter absolvi potent demonstratio, nisi quis assum?t notionem rectae, qualis

est qua ego uti soleo, quod corpore aliquo duobus punctis immotis revoluto locus

omnium punctorum quiescentium sit recta, vel saltern quod recta sit linea secans

planum interminatum in duas partes congruas; et planum sit superficies secans solidum

interminatum in duas partes congruas». [«Трудно это доказать, если не при-

нять того определения прямой, которым я обыкновенно пользуюсь, а именно,

что, когда какое-нибудь тело вращается около двух неподвижных точек, мес-

та всех неподвижных точек образуют прямую линию или, по крайней мере,

что прямая линия есть секущая безграничную плоскость на две совместные

части, а плоскость есть поверхность, рассекающая безграничное тело на две

совместных части».]

См. «геометрическую характеристику» Лейбница в его письме к Гюйгенсу от 8

сентября 1679 г. Gerhardt, ibid., II. Abt., Bd. I, стр. 23.

12* 355

ствовать минимум их без особого побочного условия... Минимум

однозначен, единственен в своем роде, и отсюда симметрия в от-

ношении предельных пунктов. Ввиду абсолютной минимально-

сти, каждая часть, как бы она ни была мала, обнаруживает то же

свойство минимума, и отсюда единообразие.

26. Данные опыта, взаимно связанные между собой, могут

быть познаны и независимо друг от друга и, без сомнения, часто

и были так находимы до установления их связи. Это не исключа-

ет, чтобы впоследствии одно оказалось данным и определяемым

через другое и, следовательно, из него выводимым. Так, напри-

мер, если известна симметрия и однообразие прямой и плоско-

сти, отсюда легко вывести, что пересечение плоскостей есть

прямая линия или что две точки на плоскости могут быть связа-

ны прямой линией, лежащей всецело в этой плоскости и т. д. То

обстоятельство, что для таких выводов нужен только минимум

едва заметных опытов, не должно вводить нас в заблуждение,

будто и этот минимум совершенно'излишен и что для построе-

ния геометрии достаточно лишь созерцания и рассуждения.

27. Так же как воззрительные образы прямой и плоскости

становятся богаче через метрический опыт и образы круга, шара,

цилиндра и т. д., и лишь через него получают симметрическое

значение. Та же экономия, которая заставляет наших детей со-

хранять в их восприятиях и рисунках лишь типическое, приводит

и нас к схематизации и логической идеализации представлений,

приобретенных из опыта. Хотя в действительности не встречаем

нигде совершенной прямой или точного круга, мы предпочита-

ем в мышлении отвлекаться от этих уклонений. Геометрия таким

образом занимается идеалами, но идеалами, которые возникли че-

рез схематизацию опытных объектов.

28. Я указывал уже в другом месте, что неправильно при эле-

ментарном преподавании обращать преимущественное внима-

ние только на логическую сторону геометрии и не раскрывать

перед детьми источников познания, содержащихся в опыте.

Американцы, над которыми сила традиции менее властвует, не-

давно успешно порвали с этой системой и ввели нечто вроде эк-

спериментальной геометрии, как предварительную ступень к

систематическому ее преподаванию26.

29. Нельзя провести резко границы между инстинктивным,

ремесленным и научным приобретением геометрических пред-

ставлений. В общем можно сказать, что с разделением хозяйст-

венных задач, по мере того как отдельные группы начинают

26 W.T. Campbell, Observational Geometry. New-York. 1899. - W.W. Speer, Advanced

Arithmetic. Boston 1899.

356

заниматься особыми объектами, инстинктивное приобретение

познаний отступает на задний план и начинается ремесленное

их приобретение. Когда же измерение само по себе становится

целью и профессией, приобретает сильный экономический инте-

рес и связь отдельных операций измерения и начинается период

научного развития геометрии, к которому мы и перейдем.

30. Взаимная зависимость измерений друг от друга получается

различным образом. Раз пришли к мысли об измерении поверх-

ностей поверхностями, за этим должны были последовать даль-

нейшие шаги. В случае поля в форме параллелограмма, который

можно разложить на равные меньшие параллелограммы так,

чтобы получить n рядов по т полей в каждом, считать эти поля

было излишне. Перемножив числа боковых сторон, можно най-

ти, что поверхность всего поля равна т · n таких частичных по-

лей, а поверхность каждого из двух треугольников, получаемых

m · n ~ пересечением диагонали, равна частичных полей. В этом

заключалось первое и наиболее простое применение арифмети-

ки к геометрии. Одновременно с этим бросалась в глаза зависи-

мость мер поверхностей от других мер длины и углов. Поверхность

прямоугольника оказывается больше, чем поверхность косоуго-

льного параллелограмма с соответственно равными сторонами;

поверхность зависит, следовательно, не только от длины сторон,

но и от углов. Напротив, прямоугольник, построенный из полос,

параллельных его основанию, можно при сохранении той же вы-

соты сдвинуть в какой угодно параллелограмм, не изменяя тем

его поверхности. Четырехугольник с данными сторонами еще не

определен по своим углам, что знает всякий плотник. Но он

прибавляет диагонали и превращает четырехугольник в треуго-

льники, которые при данных сторонах вполне определенны, т. е.

постоянны и в углах. Познание зависимости измерений друг от

друга привело к собственной задаче геометрии. /. Steiner вполне

прав, когда называет главное свое сочинение «систематическим

развитием зависимости геометрических фигур друг от друга» («Systematische

Entwicklung der Abh?ngigkeit der geometrischen Gestalten

voneinander»). В оригинальном и слишком мало оцененном

элементарном учебнике геометрии Snel?n11 означенная задача

ясно бросается в глаза даже начинающему.

31. Построим из проволок плоский телесный треугольник.

Если вращать одну сторону его вокруг ее конца, увеличивая

внутренний угол у этого конца, то эта сторона изменяется и вме-

сте с углом растет противоположная ему сторона. Чтобы соста-

27 Snelly Lehrbuch der Geometrie. Leipzig, 1869.

357

вить эту последнюю сторону, приходится к прежним кускам

проволоки прибавлять новые. Этот эксперимент и другие, по-

добные ему могут быть повторены в мыслях, причем мысленный

эксперимент все же остается только копией физического. Мыс-

ленный эксперимент был бы невозможен, если бы физический

опыт не привел раньше к знанию пространственно неизменяе-

мых физических тел28, к понятию меры. Через такие опыты при-

шли к познанию того, что из шести измеримых величин в

треугольнике (3 сторон и 3 углов) три и среди них, по меньшей

мере, одна сторона достаточны для определения треугольника.

Если среди этих трех определяющих величин находится только

один угол, то для однозначного определения треугольника необ-

ходимо, чтобы то был угол, заключенный между данными сторо-

нами или лежащий против большей стороны. Если познана

определимость треугольника тремя сторонами и то, что форма

его не зависит от его положения, то три угла в равносторонних

треугольниках и два угла, лежащие против равных сторон в рав-

нобедренном, могут быть только равны, какова бы ни была вза-

имная зависимость углов и сторон. Это логически неоспоримо.

При всем том опытная основа здесь столь же мало излишня, как

в аналогичных случаях физики.

32. Род зависимости сторон и углов сначала познается, ко-

нечно, в случаях специальных. При вычислении поверхностей

прямоугольников, как и треугольников, полученных из первых

разрезом по диагонали, должно было броситься в глаза, что из

прямоугольника со сторонами 3, 4 получается прямоугольный

треугольник со сторонами 3, 4, 5. Прямоугольность оказалась

связанной с определенным рациональным отношением сторон.

Этим опытом пользовались для того, чтобы соединенными тре-

мя шнурами длиной в 3, 4, 5 получать прямые углы29. Было обра-

щено внимание на уравнение З2 + 42 = 52, которое вполне

аналогичным образом оказалось правильным для всех прямоуго-

льных треугольников с длинами сторон а, Ь, с (а2 + Ь2 = с2).

Общеизвестно, как глубоко это отношение проникает в гео-

метрию мер, как все косвенные измерения расстояний могут

быть к нему сведены.

33. Попробуем теперь исследовать основу этого отноше-

ния. Здесь прежде всего следует заметить, что ни в греческих

геометрических, ни в индийских арифметических выводах так

28

29

Все построение геометрии у Евклида ясно обнаруживает уже эту основу. Еще

яснее она обнаруживается в упомянутой уже выше характеристике Лейбница.

Мы вернемся еще к этому.

Л/. Cantor, Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1880, I, стр. 55, 56.

358

VL

Фиг. 17

называемой теоремы Пифагора нельзя обойтись без рассмотре-

ния поверхностей. Существенный пункт, который лежит в

основе всех выводов и лишь в разной форме более или менее

ясно выступает во всех их, заключается в следующем. Прини-

мают, что если треугольник abc переместить немного в его

плоскости (фиг. 17), то покидаемые им элементы поверхности

замещаются, компенсируются новыми, равняются им. Таким

образом поверхность, описанная перемещением двух сторон,

равна поверхности, описанной перемещением третьей сторо-

ны. В основе этого воззрения лежит допущение сохранения по-

верхности треугольника. Если рассматривать поверхность как

тело очень малой и везде равной толщины, третьего измерения,

которое по этому самому не имеет значения в нашем рассужде-

нии, то здесь вновь выступает сохранение объема тела как

основное предположение. То же рассуждение можно приме-

нить к перемещению тетраэдра, что не приводит к новым точ-

кам зрения. Сохранение объема есть общее свойство твердых и

жидких тел и, идеализированное старой физикой, называется

непроницаемостью. В случае тел твердых присоединяется еще

сохранение всех расстояний их частей. Жидкие тела имеют

свойства твердых тел только в мельчайших элементах простран-

ства и времени.

34. Если косоугольный треугольник со сторонами а, Ъ, с пе-

ремещать в направлении стороны о, то, согласно вышесказанно-

му, аи с описывают лишь параллелограммы равной поверхности.

Если а и b образуют прямой угол и треугольник перемещается

перпендикулярно к с на кусок с, то сторона с описывает квадрат

с1, а другие две стороны описывают параллелограммы, сумма

поверхностей которых равна поверхности квадрата. Поверхно-

сти отдельных параллелограммов соответствуют, согласно предше-

ствующему наблюдению, а2 и б2, чем уже дана теорема Пифагора.

Можно также (фиг. 18) перемещать треугольник сначала пер-

пендикулярно к а, на кусок а, потом перпендикулярно к b на ку-

сок b и потом найти, что а2 + Ь2 равно сумме поверхностей

описанных с, которая, очевидно, есть с2. Последняя процедура

359

Фиг. 18

дает в случае косоугольного треугольника столь же легко и на-

глядно более общее положение:

с2 = а1 + Ь2 - lab · cosS?4

35. Таким образом зависимость третьей стороны треуголь-

ника от двух других его сторон определяется поверхностью опи-

санного треугольника и, следовательно, в нашем смысле условием

объема. Нетрудно также видеть, что соответствующие уравнения

выражают отношения поверхностей. Правда, можно также счи-

тать, что третья сторона треугольника определяется углом, заклю-

ченным между двумя остальными сторонами, и таким образом

придать уравнениям, по-видимому, совсем другую форму. Но

присмотримся ближе к этим различным мерам! Если две прямые,

длиной а, и, сходятся концами в одной точке, то длина прямой с,

соединяющей их свободные концы, заключена в определенных

пределах: с< а + Ьи с> а - Ь. Этому учит, правда, не воззрение,

но основанный на физическом опыте и воспроизводящий его

мысленный эксперимент. В этом можно убедиться, например,

удерживая а и вращая Ь один раз так, чтоб она стала продолже-

нием af a второй раз так, чтоб она совпала с а. Прямая есть

прежде всего своеобразное, физиологическими качествами оха-

рактеризованное воззрение, получаемое нами от такого физиче-

ского тела особых свойств, которое в форме нити или проволоки

произвольно малой, но постоянной толщины занимает между

местами своих конечных пунктов минимум объема, что может

быть только однозначно определенным, единственным в своем

роде способом. Если через точку проходит несколько прямых,

мы различаем их физиологически по направлениям. Но в про-

странстве абстрактном, полученном метрически-физическим

опытом, нет никакого различия направлений. В этом пространст-

360

ве прямая, проходящая через точку, может быть совершенно

определена лишь тем, что дается вторая ее физическая точка. Мы

определяем по физиологическим моментам, когда мы обозна-

чаем прямую как линию постоянного направления, угол - как

отклонение направлений, параллельные прямые -- как прямые

одинакового направления.

36. Для того чтобы углы, данные нам в воззрении, охаракте-

ризовать, определить геометрически, мы обладаем различными

средствами. Если для двух определенных, но в прочем произво-

льно выбранных точек, из которых одна лежит на одной стороне

угла, а другая --на другой (обе вне точки пересечения), дано

расстояние, то угол определен. С целью ввести в определение

однообразие, можно выбрать расстояния этих точек от вершины

раз навсегда определенной и равной величины. Этот способ

определения не приобрел однако права гражданства в элемен-

тах30, вследствие того неудобства, что при таком измерении

двойному, тройному и т. д. углу, лежащему в той же плоскости и

имеющему общую вершину, не соответствует двойного, тройно-

го и т. д. расстояния между указанными точками. Более простую

меру, более простую характеристику угла можно получить через

счет частями круговой дуги или поверхностью круга, которую

вырезывает угол, лежащий в плоскости круга с вершиной в цент-

ре. Эта характеристика более удобная31. Когда мы пользуемся

дугой круга для определения угла, мы собственно измеряем

опять-таки объем тела особо простой формы, помещенного

между двумя точками на сторонах угла на равном расстоянии от

вершины. Но круг может быть охарактеризован и одними (пря-

мыми) расстояниями. То, что в качестве основных мер употреб-

ляются главным образом две меры, (прямая) мера длины и мера

угла, и что из них выводятся все остальные меры, есть только

дело большей наглядности, непосредственности и вытекающих

отсюда привычки и удобства. Но это вовсе не необходимо. Так,

например, можно прямую, пересекающую другую прямую под

прямым углом, определить без особой меры угла сказав, что все

ее точки лежат на равных расстояниях от двух точек первой пря-

мой, равно отстоящих от точки пересечения прямых (фиг. 19).

Подобным же образом может быть определена линия, делящая

угол пополам, и через ряд таких последовательных делений

угла - может быть выведена произвольно малая угловая едини-

ца. Прямою, параллельною другой прямой, может быть названа

30 В тригонометрии нашел применение принцип измерения близкий к этому.

31 Так вырезанная поверхность шара служит мерой телесного угла.

361

Фиг. 19

такая линия, все точки которой могут быть через совместимые,

кривые или прямые пути переведены в точки второй прямой или

выведены из них32. Вполне возможно исходить и из одной (пря-

мой) длины как основной меры. Допустим, что нам дана непо-

движная физическая точка а. Пусть другая точка т находится на

расстоянии от нее, равном га. В таком случае последняя может

лежать везде на поверхности шара, описанного около центра а

радиусом га. Если же известна еще вторая неподвижная точка с

расстоянием гь от точки m, то треугольник abm установлен, опре-

делен. Но точка т может еще перемещаться по кругу, описанно-

му вращением оси ab. Если сделать и точку т в каком-нибудь ее

положении неподвижной, то все тело, которому принадлежат

эти три точки а, Ь, т, будет установлено.

37. Итак, точка т пространственно определена, если даны,

по меньшей мере, расстояния ra, rb, гс до трех неподвижных в

пространстве точек af b, с. Это определение однако еще не одно-

значно, так как пирамида с гранями ra, гь, гс, в вершине которой

лежит точка m, может быть построена как на одной, так и на дру-

гой стороне плоскости abc. Если бы мы захотели определить эту

сторону каким-нибудь знаком, то это было бы определением

физиологическим, ибо геометрически нет никакой разницы меж-

ду обеими сторонами плоскости. Чтобы точка т была однознач-

но определена, должно быть дано еще расстояние ее r'd до

четвертой точки d, лежащей вне плоскости abc. Другая точка т '

столь же вполне определяется четырьмя расстояниями г,, г'ь, г'с,

r'd. Следовательно, расстояние точки т от точки т ' тем самым

тоже уже дано. То же самое мы будем иметь и для любых других

точек при определении их четырьмя расстояниями. Между че-

32 При таком определении сомнение в теореме параллельных линий Евклида

явилось бы, вероятно, гораздо позже.

362

4(4-1) ,

тырьмя точками мыслимо - = 6 расстоянии, и столько же

расстояний должно быть дано, чтобы определить форму комп-

лекса точек. В случае 4 + ж = з точек достаточно для определения

6 + 4z или 4п - 10 расстояний, между тем как имеется налицо

большее число, именно - расстояний, так что определены

лишние расстояния33.

38. Если исходить из трех точек и ввести условие, что все

расстояния дальнейшим образом определяемых точек будут ле-

жать по одну сторону плоскости этих трех точек, то для системы

n точек, в смысле определения формы и величины ее, и положе-

ния относительно трех исходных точек достаточно Ъп - 6 рассто-

яний. Но если сторона плоскости не установлена заранее - что,

как уже сказано, может быть сделано только в наглядно-физио-

логических, а не абстрактных метрических признаках, - то сис-

тема точек может вместо предположенных получить форму и

положение, симметричные первым, или может получиться ком-

бинация той и другой. Вследствие нашей симметрической фи-

зиологической организации, симметрические геометрические фи-

гуры легко кажутся нам одинаковыми, тогда как метрически и

физически они совершенно различны. Винт с правым и винт с

левым вращением, два тела, вращающихся в противоположные

стороны и т. д., для нашего воззрения весьма сходны, но мы не

можем на этом основании их считать геометрически или физи-

чески равнозначными. Принятие в расчет этого обстоятельства

могло бы предупредить немало парадоксальных вопросов. Вспом-

ним, к чему привели эти вопросы Канта. Созерцательные фи-

зиологические признаки определяются отношениями к нашему

телу, к телесной системе особого устройства, но метрические

признаки определяются отношениями к общему миру тел. По-

следние признаки могут быть получены только опытом совмеще-

ния, измерением.

39. Итак, мы видим, что каждое геометрическое определе-

ние в основе своей сводится к измерению объема, к счету тел.

Измерение длины и измерение поверхности основано на срав-

нении объемов, очень тонких нитей, палок и листов постоянной

толщины. Этому не противоречит тот факт, что из мер длины

можно арифметически вывести меры поверхности, из мер длины

33 Интересную попытку обосновать Евклидову и n?-Евклидову геометрию на од-

ном понятии расстояния мы находим у De Tilly, Essai sur les principes fondamentaux

de la g?om?trie et de la mSfcanique (M?moires de la soci?t? des sciences

physiques et naturelles de Bordeaux 1880).

363

или из мер длины и поверхности - меры тел. Это показывает то-

лько то, что разнородные измерения объемов зависят друг от

друга. Отыскать эти зависимости есть основная задача геомет-

рии, как задача арифметики состоит в определении зависимо-

стей между операциями счета, между нашими упорядочивающими

деятельностями.

40. Весьма вероятно, что быстрое развитие геометрии обу-

словлено опытом зрения. Но знание свойств световых лучей, ко-

торого мы достигли при современном развитии техники, не

должно внушать мысли, будто опыт над световыми лучами есть

существенная основа геометрии. Правда, лучи в воздухе, напол-

ненном дымом или пылью, дают нам прекрасный наглядный об-

раз прямых. Но метрические свойства прямых линий мы столь же

мало можем заимствовать от светового луча, как и от представле-

ния прямой. Для этого безусловно необходим опыт над телесными

объектами. Натягивание нитей, применяемое геометрами-практи-

ками, есть прием, без сомнения, более древний, чем применение

диоптра. Но раз мы уже познали телесную прямую, световой луч

может явиться весьма наглядным и удобным средством прихо-

дить к новым воззрениям. Современную синтетическую геомет-

рию вряд ли мог бы изобрести слепой. Древнейший же и

сильнейший опыт, лежащий в основе геометрии, так же досту-

пен слепому через осязание, как и зрячему. И тот и другой знает

пространственное постоянство тел в их подвижности; оба при

схватывании тел получают представление объема. Творец при-

митивной геометрии сначала инстинктивно, а потом намеренно

и сознательно отвлекался от свойств тел, не имевших значения

для его операций, не интересовавших его в данный момент. Так

мало-помалу развились на основе данных опыта идеализирован-

ные понятия геометрии.

41. Итак, наше геометрическое познание обязано своим

происхождением различным источникам. Множество простран-

ственных форм физиологически нам знакомо через непосредст-

венное воззрение, через зрение и осязание. С этими формами

связан физический (метрический) опыт (сравнение пространст-

венных ощущений, вызываемых различными телами при равных

условиях), который опять-таки можно свести к связи ощущений

наших чувств. Эти опыты различного порядка бывают большей

частью так тесно между собою связаны, что только тщательный

анализ может их разделить. Отсюда возникли столь расходящие-

ся взгляды относительно геометрии. То ее сводят к чистому воз-

зрению, то к физическому опыту, в зависимости от того, какой

момент оценивается слишком низко или оставляется без внима-

364

ния. Но оба момента содействовали развитию геометрии и дей-

ствуют еще и ныне, ибо, как уже было показано, геометрия

вовсе не пользуется исключительно лишь метрическими поня-

тиями.

42. Если спросить беспристрастного, добросовестного чело-

века, как он представляет себе пространство, отнесенное, на-

пример, к системе координат Декарта, он ответил бы приблизи-

тельно следующее: «Я представляю себе систему твердых (опре-

деленной формы), прозрачных, проницаемых, соприкасающих-

ся кубов, предельные поверхности которых оттенены слабыми

зрительными или осязательными представлениями, одним сло-

вом, какие-то привидения кубов». Над этими-то телами-приви-

дениями и сквозь них и движется действительное тело или тоже

его привидение, сохраняя свое пространственное постоянство (в

указанном выше смысле), когда мы занимаемся практической

или теоретической геометрией или форономией. В знаменитом

исследовании кривых поверхностей Гаусса, например, речь идет

собственно о наложении бесконечно тонких, листообразных и,

следовательно, сгибаемых тел друг на друга. Что опыты разного

рода совокупно влияют на образование соответственных основ-

ных представлений, отрицать невозможно.

43. Как ни многообразен был специальный опыт, послужив-

ший исходным пунктом для геометрии, он все же может быть

сведен к минимуму фактов: существуют подвижные тела особого

пространственного постоянства, твердые тела. Подвижность же

их характеризуется следующим образом. Мы проводим из одной

точки три прямые, не лежащие все три в одной плоскости, в

остальном же совершенно произвольные. Перемещением по

трем направлениям, параллельным этим прямым, возможно из

каждой данной точки достичь любой другой. Таким образом три

измерения, физиологически и метрически охарактеризованные

как простейшие, достаточны для всех пространственных опреде-

лений. Таковы основные факты.

44. Подобно всякому другому опыту, образующему основу

экспериментальной науки, физически-метрический опыт идеа-

лизируется в наших понятиях. Влечет к этому потребность изоб-

разить факты с помощью простых, прозрачных, логически легко

усваиваемых понятий. Нет абсолютно твердого, пространственно

вполне неизменяемого тела, как нет совершенной прямой линии,

абсолютной плоскости, как нет совершенного газа, совершенной

жидкости. Но мы охотнее и легче оперируем этими понятиями,

чем другими, более точно соответствующими свойствам объек-

тов, и затем принимаем в расчет отклонения. Теоретической гео-

365

метрии вообще нет надобности принимать во внимание эти

отклонения, так как она предполагает объекты, вполне удовлет-

воряющие условиям теории, подобно теоретической физике. Но

когда практической геометрии приходится заниматься объекта-

ми действительными, она вынуждена тоже, как и практическая

физика, принимать во внимание отклонения от теоретических

допущений. Однако геометрия имеет и некоторое преимущество

перед физикой: всякое отклонение ее объектов от предпосылок

теории, какое только познается, может быть тотчас устранено,

между тем как физика по понятным причинам не может, напри-

мер, создавать газов более совершенных, чем те, которые суще-

ствуют в природе. Ибо в последнем случае дело идет не об одном

произвольно создаваемом, пространственном свойстве, как в

геометрии, а об отношении между давлением, объемом и темпе-

ратурой, существующем в природе и от нашей воли независи-

мом.

45. Выбор понятий, правда, определяется фактами, но так

как он покоится на самодеятельном воспроизведении этих фак-

тов в мыслях, то нашему произволу предоставлен известный

простор. Важность понятий оценивается в зависимости от раз-

меров области их применения. Это обстоятельство выдвигает на

передний план понятие о прямой и плоскости, ибо каждый гео-

метрический объект может быть, по крайней мере, с достаточ-

ным приближением разложен на ограниченные элементы плос-

костей и прямых линий. На какие свойства прямых линий, плос-

костей и т. д. мы особенно обращаем внимание, остается делом

произвольным, и это выражается в различии определений одно-

го и того же понятия34.

46. Нельзя сомневаться, что основные принципы геометрии

заимствованы из физического опыта, ибо само пространствен-

ное созерцание, само пространственное ощущение не поддают-

ся измерению, не допускают никакого метрического опыта. Но

столь же несомненно и то, что, раз связь пространственного со-

зерцания с простейшим метрическим опытом установлена, гео-

метрические факты могут быть легко и точно воспроизводимы в

представлениях, в мысленном эксперименте. Одно то обстоятель-

ство, что непрерывному метрическому изменению тел соответ-

ствует непрерывное изменение пространственного ощущения,

делает возможным установлять мысленным экспериментом, ка-

кие метрические элементы вообще зависят друг от друга. Если

такие метрические элементы одинаково входят в различные по-

строения разных положений, их метрические результаты рас-

\

34 Стоит сравнить, например, определение прямой у Евклида и у Архимеда.

366

сматриваются как равные. Примером может служить упомянутый

выше случай равнобедренного и равностороннего треугольника.

Преимущество геометрического мысленного эксперимента срав-

нительно с физическим заключается только в том, что первый

может быть выполнен на основании более простых, более легких

и почти бессознательно приобретенных опытов.

Фиг. 20

47. Пространственное воззрение и пространственное пред-

ставление сами по себе имеют качественный, а не количествен-

ный, не метрический характер. Мы получаем в них сходства и

различия протяжения, но не собственно величины. Представим

себе, например, что по краю неподвижной монеты катится без

трения в направлении часовой стрелки другая монета, равная

первой по величине. Как бы живо мы ни представляли себе это

движение, тщетна будет попытка вывести из одного этого пред-

ставления угол вращения при полном обороте. Но если мы заме-

чаем, что в начале движения радиусы а, а' (фиг. 20) образуют

одну прямую, а после четверти оборота вокруг неподвижной мо-

неты одну прямую составляют радиусы Ь, Ь', то сейчас же видим,

что радиус а' направлен теперь вертикально вверх и, следовате-

льно, сделал половину оборота. Таким образом мера вращения

выводится из понятий метрических, фиксирующих идеализиро-

ванный опыт, полученный на телесных объектах, но направление

вращения устанавливается при этом созерцательным представ-

лением. Метрические понятия определяют только, что равным

дугам равных кругов соответствуют равные углы, что радиусы

367

двух соприкасающихся кругов, проведенные через точку каса-

ния, образуют одну прямую линию и т. д.

48. Если я представляю себе треугольник с увеличивающим-

ся углом, то вижу, что растет и противолежащая ему сторона.

Отсюда получается впечатление, что эта зависимость вытекает а

priori из представления. Однако представление воспроизводит

здесь только факт опыта. Мера угла и мера стороны суть два фи-

зических понятия, приложимые к одному и тому же факту, но

столь нам привычные, что кажутся только двумя различными

признаками одного и того же фактического представления и по-

тому необходимо между собой связанными. И однако без физи-

ческого опыта мы никогда не получили бы этих понятий.

49. Взаимодействие созерцания и идеализированного опыт-

ного понятия обнаруживается при всех геометрических выводах.

Рассмотрим, например, простую теорему, что три линии, пер-

пендикулярные к серединам сторон треугольника ЛВС, пересе-

каются в одной точке. К этой теореме привели эксперимент и

созерцание. Но чем тоньше исполнено построение, тем лучше

мы убеждаемся, что третий перпендикуляр не проходит вполне

точно через точку пересечения двух первых и что, следовательно,

при действительном построении были бы всегда находимы лишь

три близкие друг другу точки пересечения. Но, ведь, в действи-

тельности мы не проводим ни совершенных прямых, ни совер-

шенных перпендикуляров, ни ведем их точно из середины сторон

и т. д. Только при этих идеальных условиях перпендикуляр к се-

редине линии AB заключает в себе все точки, равно удаленные от

А и Д и перпендикуляр к середине линии ВС - все точки, равно

удаленные от В и С; вследствие этого точка пересечения этих

двух перпендикуляров находится на равном расстоянии от точек

А, В, Си, находясь на равном расстоянии от А, С, лежит также на

третьем перпендикуляре к середине линии АС. Таким образом

наша теорема выражает только то, что чем точнее выполняются

предпосылки, тем точнее совпадают три точки пересечения.

50. Эти примеры ясно, надеемся, показали, как важно взаи-

модействие созерцания и понятия. «Мысли без содержания пус-

ты, наглядные представления без понятий слепы», говорит Кант35.

Еще лучше, пожалуй, сказать так: «Понятия без наглядных пред-

ставлений (созерцаний) слепы, наглядные представления без по-

нятий бессильны». Ибо не вполне правильно называть созерцание

слепым, а понятия пустыми. Если далее Кант^ утверждает, что

35 Kritik der reinen Vernuft, 1787, стр. 75.

36 Metaphysische Anfangsgr?nde der Naturwissenschaft. Vorwort.

368

в «каждом особом учении о природе заключается лишь столько

настоящей науки, сколько в ней есть математики», то можно,

пожалуй, и обо всех науках, не исключая математики, сказать,

что «они суть науки только постольку, поскольку они оперируют

понятиями». Ибо наша логическая власть распространяется толь-

ко на понятия, содержание которых мы сами определили.

51. Факты твердости и подвижности тел достаточны, чтобы

понять каждый геометрический факт, как бы он ни был сложен,

т. е. чтобы вывести его из этих фактов. Но геометрии приходит-

ся, и в собственных своих интересах, и в качестве науки вспомо-

гательной или при преследовании практических целей, отвечать

на вопросы, часто повторяющейся формы. Было бы поэтому неэ-

кономно каждый новый случай анализировать с самого начала,

от самых элементарных фактов. Выгоднее из некоторых про-

стых, привычных и несомненных положений - выбор которых

не чужд произвола - вывести ответы на наиболее часто встреча-

ющиеся вопросы, в виде раз навсегда установленных теорем. С

этой точки зрения становится сразу понятной форма геометрии,

например значение, которое она придает своим теоремам о треу-

гольниках и т. д. Для указанной цели желательно получить воз-

можно более общие положения с самой широкой областью

применения. История показывает, что такие положения были

получены через соединение специальных познаний в познание

более общее. И в настоящее время мы бываем еще вынуждены к

такому процессу, когда дело идет о связи двух геометрических

образов и когда специальные случаи формы и положения при-

нуждают видоизменить выводы. Как один из наиболее извест-

ных примеров из элементарной геометрии достаточно указать

вывод отношения, существующего между центральным и впи-

санным углом. Кроман*1 задался вопросом, каким образом про-

исходит то, что мы доказательству на специальной форме (для

особого треугольника) приписываем общеобязательное значе-

ние. Чтобы объяснить это, он принимает, что мы быстро изме-

няем в мыслях фигуру, заставляя ее принимать всевозможные

формы, и таким образом убеждаемся в правильности вывода во

всех частных случаях. История и самонаблюдение показывают,

что эта мысль в существенном правильна. Но мы не должны

принимать (как это делает Кроман), что всякий индивидуум, за-

нимающийся геометрией, в каждом отдельном случае «с быстро-

той молнии» исполняет такой полный обзор и достигает такой

ясности и силы убеждения в общем характере геометрических

положений. Часто нужная операция невыполнима, а заблужде-

37 Kroman, Unsere Naturerkenntnis. Kopenhagen, 1883, стр. 74 и след.

13 Познание и заблуждение 369

ния показывают, что в других случаях она не была выполнена и

человек удовольствовался предположением по аналогии38. Но

то, чего индивидуум не делает или не может сделать в одно мгно-

вение, он может сделать в течение всей своей жизни. Целые по-

коления работают над поверкой геометрии, и эта коллективная

работа тоже усиливает убеждение в ее правильности39. Я знавал

одного во многих отношениях превосходного учителя, который

заставлял своих учеников производить все доказательства на не-

правильной фигуре, ибо полагал он, дело вообще не в фигуре, а

лишь в логической связи понятий. Но фиксированные в поняти-

ях данные опыта связаны с данными воззрения. И какие поня-

тия применимы в том или другом случае, может научить нас

только фигура, данная в воззрении или представлении. Метод

этого учителя очень удобен для того, чтобы показать роль в по-

знании логических операций. Но тот, кто постоянно применяет

такой метод, наверное упускает из виду, что понятия черпают

свою силу в чувственности.

Мнение, что новое познание может быть раз навсегда при-

обретено в течение нескольких минут, при помощи удачно постро-

енных силлогизмов, не подтверждается точно установленными

фактами. Оно неверно ни по отношению к отдельному учащему-

ся или исследователю, ни по отношению к какому-нибудь народу

или человечеству, ни в отношении к геометрии, ни в отношении к

какой-либо другой науке. Напротив, история науки показывает,

что новое, правильное познание, покоящееся на верных осно-

вах, может то больше, то меньше затемняться, может выступать

в односторонней, неполной форме, для одной группы исследо-

38 Holder, Anschauung und Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 12.

39 Gerken, высказывающийся в своей программной статье «Die philosophischen

Grundlagen der Mathematik» (Perleberg 1887, стр. 27) в том же духе, что и Кро-

ман, ссылается при этом на Бенеке. Последний во многих местах своего сочи-

нения «Logik als Kunstlehre des Denkens» подробно разбирает вопрос о

математическом познании, как, например, в томе II на стр. 51 и след. На стр.

52-53 он говорит: «Прежде всего нет сомнения, что такое бесконечное срав-

нение действительно может быть совершено; в некоторых случаях это может

быть даже непосредственно, наглядно показано. Возьмем приведенное выше

геометрическое положение (о сумме углов в треугольнике). Если я вращаю в

круге вершину треугольника, лежащую против продолженного основания

его и при этом (вращая таким же образом вспомогательные линии и весь чер-

теж) наглядно показываю, что означенное соотношение существует во всех

положениях треугольника и (что с этим непосредственно связано) при всех

отношениях его величин, то спрашивается, сравнил ли я при этом конечное

или бесконечное число случаев?» О сомнительной «быстроте молнии» у Бене-

ке нет однако и речи. - См. также несколько иные рассуждения на эту тему у

С. Siegel, Versuch einer empiristischen Darstellung der r?umlichen Grundgebilde

u. s. w. (Vierteljarschr. f. wiss. Philosophie, 1900, в особенности стр. 203).

370

вателей даже совершенно исчезнуть и потом снова возродиться.

Однократного нахождения и провозглашения какого-нибудь по-

знания бывает недостаточно. Часто проходят года и даже столе-

тия, пока общее мышление разовьется настолько, чтобы оно

могло стать общим достоянием и укрепиться. Этот факт особен-

но хорошо освещен в глубоких исследованиях Дюгема40 об исто-

рии статики.

40 Duhem, Les origines de la statique. Paris. 1905, в особенности Т. I, стр. 181 и

след.

13* 371

ГЛАВА 22

ПРОСТРАНСТВО И ГЕОМЕТРИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ1

1. Пространственное воззрение человека коренится в его

физиологической организации. Геометрические понятия развива-

ются путем идеализации физического опыта пространства. Нако-

нец, геометрическая система создается логическим упорядочением

полученных понятий. Все три момента оставили ясные следы в

современной геометрии. Таким образом теоретико-познаватель-

ные вопросы о пространстве и геометрии подлежат изучению

физиолога и психолога, физика, математика, философа и логика

и могут быть постепенно разрешены, лишь приняв во внимание

все, весьма различные здесь, точки зрения.

Когда в ранней юности в нас пробуждается полное созна-

ние, мы уже находим у себя представление окружающего нас,

охватывающего наше тело пространства, в котором, частью из-

меняясь и частью сохраняя прежнюю величину и форму, двига-

ются различные тела. Как у нас явилось это представление, мы

указать не можем. Только точный анализ целесообразно и пла-

номерно устроенных экспериментов дает возможность догадать-

ся, что этому содействовали прирожденные особенности нашего

тела с одной стороны, и простой, грубый, физический опыт - с

другой.

Кроме своего чувственного качества (красный, шерохова-

тый, прохладный и т. д.) каждый зрительный или осязательный

объект характеризуется еще своим качеством места, локальным

качеством (направо, наверх, впереди и т. д.). Чувственное каче-

ство может оставаться тем же самым, когда локальные места не-

прерывно изменяются; это значит, что один и тот же чувственный

объект может перемещаться в пространстве. Когда такого рода

состояния часто вызываются физически-физиологическими об-

стоятельствами, то вместе с огромным многообразием случай-

Глава эта была напечатана в журнале «The Monist», Vol. XIV. Oktober 1903. Я

делаю в ней попытку в качестве физика занять известное положение к так на-

зываемой метагеометрии. За подробными геометрическими доказательства-

ми я должен отослать читателя к источникам. При всем том я надеюсь

сохранить общепонятность изложения, так как привожу примеры, всякому

знакомые и привычные. - Профессор F. Brentano сделал устные и письмен-

ные возражения против изложенных в этой главе взглядов; эти возражения

весьма интересны, но теперь, будучи занят другими вопросами, я на них по-

дробно останавливаться не могу.

372

ных чувственных качеств постоянно повторяются одни и те же

ряды локальных качеств, так что эти последние скоро образуют

некоторую постоянную, сохраняющуюся схему или шкалу, в ко-

торой и располагаются упомянутые выше чувственные качества.

Таким образом хотя чувственные качества и локальные качества

возбуждаются и могут выступать только вместе, тем не менее лег-

ко возникает впечатление, будто система привычных локальных

качеств дана до чувственных качеств.

2. Протяженные зрительные и осязательные объекты состо-

ят из более или менее различимых чувственных качеств, которые

связаны с соседними различными локальными качествами, об-

разующими непрерывный ряд ступеней. Когда такие объекты

перемещаются, и именно в области наших рук, мы воспринима-

ем сжатие или набухание (в целом или в его частях), или сохра-

нение прежнего состояния, т. е. контрасты предельных локальных

качеств изменяются или остаются постоянными. В последнем

случае мы называем объекты твердыми. Через познание таких

постоянств, несмотря на пространственные их перемещения,

различные части нашего пространственного воззрения стано-

вятся сравнимыми, прежде всего в физиологическом смысле. Через

сравнение различных тел между собой, через введение физической

меры, эта сравнимость становится более точной, количественной

и вместе с тем переходит границы индивидуума. Таким образом на

место индивидуального, не передаваемого другим, пространственно-

го воззрения становятся общеобязательные для всех людей понятия

геометрии. Каждый человек имеет свое особое пространственное

воззрение, но геометрическое пространство одно для всех. Мы

должны строго различать между наглядным, воззрительным про-

странством и метрическим пространством, содержащим физиче-

ский опыт.

3. Потребность в глубоком гносеологическом выяснении

основ геометрии заставила Римана2 в середине прошлого столе-

тия поставить вопрос о природе пространства. Еще до этого Гаусс,

Лобачевский и оба Bolyai обратили внимание на эмпирически-ги-

потетическое значение известных основных допущений геомет-

рии. Когда Риман рассматривает пространство как частный случай

многократно протяженной «величины», он мыслит некоторый

геометрический образ, который можно представлять себе напол-

няющим и все пространство, например координатную систему

Декарта. Далее, Риман говорит, что положения геометрии нель-

зя вывести из общих понятий о величинах, но те свойства, кото-

рыми пространство отличается от других мыслимых величин

?ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. G?ttingen, 1867.

14 Познание и заблуждение 373

трех измерений, могут быть заимствованы только из опыта...

«Подобно всем фактам, и эти факты не необходимы, а только

эмпирически достоверны; они - гипотезы». Как основные до-

пущения во всякой отрасли естествознания, так и основные до-

пущения геометрии, к которым привел опыт, представляют

идеализации этого опыта. В своем естественнонаучном понима-

нии геометрии Риман стоит на точке зрения своего учителя Гаус-

са. Гаусс высказал убеждение, «что мы не можем обосновать

геометрию вполне a priori»...3 «Мы должны смиренно признать,

что, хотя число есть только продукт нашего ума, пространство

есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело

приписывать закона a priori4.

4. Каждый исследователь испытал, что познанию объекта,

подлежащего исследованию, существенно помогает сравнение

его с объектами родственными. Естественно, что и Риман ищет

вещей, представляющих аналогию с пространством. Геометри-

ческое пространство он рассматривает как непрерывное много-

образие трех измерений, элементами которого надо считать

определяемые тремя координатами точки. Он находит, «что мес-

та чувственных предметов и цвета суть, пожалуй, единственные

понятия, определения которых образуют многообразие многих

измерений». К этой аналогии другие ученые прибавили еще но-

вые и развили их далее, но, по моему мнению, не всегда с успе-

хом5.

5. Если сравним сначала пространственное ощущение с ощу-

щением цвета, то мы видим, что непрерывным рядам: наверху -

внизу, направо -- налево, вблизи - далеко соответствуют три

ряда ощущений цветов: черный - белый, красный - зеленый,

желтый - синий. Система ощущаемых (созерцаемых) мест есть

3 Brief von Gauss an Bessel, 27 Januar 1829.

4 Brief von Gauss an Bessel vom 9 April 1830. - Выражение «число есть продукт

или творение ума» с тех пор неоднократно употреблялось математиками. Но

беспристрастное психологическое наблюдение учит нас, что образованию

понятия числа в такой же мере кладет начало опыт, как образованию геомет-

рических понятий. По меньшей мере прежде чем возникнет понятие о числе,

должен уже существовать опыт, что в известном смысле равноценные объек-

ты существуют множественно и неизменно. И числовой эксперимент играет

выдающуюся роль в развитии арифметики.

5 Если устанавливать аналогию между высотой, интенсивностью и тембром

звука, между цветом, насыщенностью и силой света с одной стороны, и тре-

мя измерениями пространства - с другой, то такие аналогии удовлетворят

немногих. Тембр звука, как и цвет, зависит от многих переменных. Поэтому,

если эта аналогия имеет вообще какой-нибудь смысл, то тембру и цвету дол-

жны соответствовать многие измерения. - Ср. Веппо Erdmann. Die Axiome

der Geometrie. Leipzig, 1877.

374