Часть 6.

в такой же мере непрерывное многообразие трех измерений, как

и система цветовых ощущений. Против этой аналогии возража-

ли, что в первом случае три изменения (измерения) гомогенны

(однородны) и могут заменять друг друга, между тем как во вто-

ром случае они гетерогенны и не могут заменять друг друга. Но

это возражение оказывается неосновательным, если сравнивать

пространственное ощущение с цветовым ощущением. Ибо пси-

хофизиологические ряды направо - налево и наверху - внизу

столь же мало могут заменить друг друга, как ряды красный -

зеленый и черный - белый. Только когда сравнивают геометри-

ческое пространство с системой цветов, это возражение стано-

вится, по-видимому, основательным. Однако для полной аналогии

между созерцаемым пространством и системой цветовых ощу-

щений все же еще многого недостает. В то время, как близкие

равные расстояния в пространстве непосредственно познаются

нами как таковые, о различии между цветами мы ничего подоб-

ного сказать не можем и в последней области не хватает, следо-

вательно, физиологической сравнимости ее частей. Хотя вполне

возможно, приложив физический опыт, обозначить каждый цвет

системы через три числа, подобно местам в геометрическом про-

странстве, и таким образом создать для цветов метрическую сис-

тему, подобную пространственной, однако все же трудно найти

что-либо, что соответствовало бы расстояниям или объемам и

имело бы для системы цветов аналогичное физическое значе-

ние.

6. Аналогии всегда заключают в себе нечто произвольное,

так как распространяются на сходства, которые привлекли наше

внимание. Однако вряд ли кто-нибудь станет отрицать аналогию

между пространством и временем, и притом как при физиологи-

ческом, так и физическом их понимании. В обоих случаях про-

странство есть непрерывное многообразие трех измерений, а

время - непрерывное однородное многообразие. Какой-нибудь

физический процесс средней продолжительности, точно опреде-

ленный известными обстоятельствами, является для нас теперь и

во всякое другое время непосредственно равным по продолжите-

льности. Физические процессы, когда-нибудь совпадающие по

времени, совпадают по времени и во всякий другой момент. Су-

ществует, следовательно, совмещение во времени, как существует

совмещение в пространстве. Существует, следовательно, посто-

янный физический объект времени, как и постоянный физиче-

ский объект пространства (твердое тело). Существует не только

пространственная, но и временная субстанциональность. Галилей

пользовался еще физиологическими процессами - пульсом и

375

дыханием - для оценки времени, как некогда пользовались ру-

ками и ногами для измерения пространства.

7. Есть также аналогия между пространственными ощуще-

ниями - многообразием трех измерений - и ощущениями тонов,

составляющими многообразие одного измерения6. Сравнимость

различных частей системы ощущений тонов дана в непосредст-

венном ощущении музыкального интервала. Метрическая систе-

ма, соответствующая геометрическому пространству, получается

здесь всего проще, если характеризовать высоту тона логариф-

мом числа колебаний. Постоянному музыкальному интервалу

здесь соответствует выражение:

log- = log«' - log n = log ф - log-c' = konst,

з

где з', з обозначают числа колебаний, a ф', ф - продолжитель-

ность колебаний высшего и низшего тона. Разность логарифмов

означает здесь длину, которая остается постоянной при переме-

щении вдоль линии тонов. Постоянный субстанциональный фи-

зический объект, который мы ощущаем как интервал, определен

для нашего уха временно, между тем как аналогичный объект для

чувства зрения и осязания определен пространственно. Мера

пространства только потому нам кажется проще, что мы ту же

самую длину, которая остается постоянной для пространствен-

ного чувства, выбрали и как основную меру в геометрии, между

тем как к изменениям в области тонов мы приходим лишь око-

льным физическим путем.

8. Теперь необходимо, помимо сходных черт, указать и на раз-

личия в многообразиях, между которыми мы провели аналогию.

Рассматривая время и пространство как многообразия ощущений,

мы находим, что объекты, движение которых обнаруживается из-

менением качеств времени и пространства, характеризуются

вместе с тем и другими ощущаемыми качествами: цветами, ося-

зательными свойствами, тонами и т. д. Если же проводить пол-

ную аналогию между зрительным пространством и, например,

ощущениями тона, то получается следующая странная вещь: в

первой области локальные качества должны выступить одни, без

прочих соответствующих объектам ощутимых качеств, т. е. так,

как будто возможно было видеть какое-нибудь место или опре-

деленное движение, не видя объекта, занимающего это место

или совершающего это движение. Так как однако локальные ка-

На эту аналогию я обратил внимание в 1863 году при изучении органа слуха и

с тех пор проследил ее далее. См. «Анализ ощущений» (изд. С. Скирмунта).

376

чества представляют собою ощущения органов, которые могут

быть возбуждены только вместе с чувственными качествами7, то

упомянутая аналогия не является особенно заманчивой. Для ма-

тематика, оперирующего многообразиями, не представляет суще-

ственной разницы, движется ли объект определенного цвета

непрерывно в оптическом пространстве или какой-нибудь пред-

мет, занимающий определенное место, непрерывно изменяясь,

проходит многообразный ряд цветов. Но для физиолога и психо-

лога эти случаи весьма различны и не только по указанному выше,

но и вследствие еще одного обстоятельства. Система локальных

качеств нам весьма привычна, между тем как систему цветовых

ощущений мы представляем себе только с трудом и искусственно

на основании научных исследований. Цвет кажется нам вырван-

ным членом многообразия, порядок которого для нас непривычен.

9. Многообразия, сравниваемые здесь с пространством, пред-

ставляют, как, например, система цветов, тоже три измерения

или меньшее их число. В самом пространстве мы находим повер-

хности - многообразия двух измерений - и линии - многооб-

разия одного измерения, а математик на своем обобщающем

языке может сюда причислить и точки, как многообразия нуле-

вого измерения. Но не представляет никакого затруднения рас-

сматривать аналитическую механику, как то и было сделано, как

аналитическую геометрию четырех измерений (четвертое изме-

рение - время). Вообще отнесенные к координатам уравнения

аналитической геометрии легко внушают математику мысль рас-

пространить такого рода рассуждения на какое угодно большее

число измерений. И физика могла бы рассматривать протяжен-

ную материальную непрерывность, каждой точке которой мож-

но приписать определенную температуру, силу притяжения,

магнитный и электрический потенциал и т. д., как часть, как вы-

резку многообразия многих измерений. Мы знаем из истории

науки, что оперирование такими символическими образами ни-

коим образом нельзя считать делом совершенно бесплодным.

Символы, которые сначала не имели как будто никакого смыс-

ла, постепенно -- так сказать, при мысленных экспериментах

над ними - получили ясное и точное значение. Вспомним, на-

пример, отрицательные дробные и переменные показатели сте-

пени и подобные тому случаи, в которых именно этим путем

были достигнуты важные и существенные расширения понятия,

которые иначе были бы или совершенно не достигнуты или до-

стигнуты гораздо позже. Вспомним так называемые мнимые ве-

См. стр. 332-333.

377

личины, которыми давно оперировали и достигали даже важных

результатов, прежде чем были в состоянии придать им вполне

определенный и даже наглядный смысл. Но символическое

изображение имеет, правда, и известный недостаток, заключаю-

щийся в том, что слишком легко упустить совершенно из виду

изображенный в символе объект и оперировать знаками, кото-

рым порой никакого объекта не соответствует8.

10. Нетрудно подняться до Римановского представления непре-

рывного многообразия и измерений и удается даже части такого

многообразия реализовать и сделать наглядными. Пусть бА 5 аъ аъ,

я4,....

щества и т. д.). Если представить себе эти элементы соединенными

во всех возможных отношениях, то каждое отдельное такое соеди-

нение может быть представлено следующим выражением:

а2а2 *п+\

причем коэффициенты а удовлетворяют уравнению

а{ +я2 +я3 + ... ап+1 =1.

Так как n коэффициентов а можно выбрать произвольно,

то совокупность соединений из n + 1 элементов представляет

непрерывное многообразие n измерений9. В качестве коорди-

Я должен сознаться, что, когда я был молодым студентом, меня возмущал

каждый вывод при помощи символов, значение которых не было вполне

ясно и наглядно. Но историческое изучение способно уничтожить склон-

ность к мистике, легко развивающуюся в случае малосознательного приме-

нения таких методов: оно знакомит с эвристическим значением их и в то же

время гносеологически выясняет, в чем именно заключается помощь, кото-

рую они оказывают. Символическое изображение какого-нибудь вычисле-

ния имеет для математика то же значение, какое имеет модель или наглядная

рабочая гипотеза для физика. Символ, модель, гипотеза параллельны тому,

что должно быть изображено. Но этот параллелизм может заходить далее или

может быть проведен далее, чем это предполагалось первоначально при вы-

боре этого средства. Так как то, что подлежит изображению, и средство изоб-

ражения все же вещи различные, то мы в одном замечаем то, что оставалось

бы в другом скрытым. На операцию а2/3 трудно напасть непосредственно. Но

вычисление с такими символами приводит к тому, что этот символ получает

понятный смысл. В течение многих_йесятилетий оперировали, по примеру

Эйлера, выражениями как cpsx + V-1 · sin x.и степенями с мнимыми пока-

зателями. Это продолжалось до тех пор, пока в стремлении к взаимному при-

способлению мысли и символа не прорвалась, наконец, yArgancfa в 1806 году

зревшая в течение столетия идея, что отношение можно рассматривать с точ-

ки зрения величины и направления, и тогда оказалось, что v-1 есть среднее

пропорциональное направления между +1 и -1.

Если бы шесть основных цветовых ощущений были совершенно независимы

друга от друга, то система цветовых ощущений представляла бы многообра-

зие пяти измерений, но так как они образуют три пары противоположных

цветов, то эта система соответствует многообразию трех измерений.

378

нат какой-нибудь точки, элемента этого многообразия можно

рассматривать выражения формы - или

а'

например

log -- . Но при выборе определения расстояния или других

понятий, аналогичных геометрическим, пришлось бы посту-

пать весьма произвольно, если бы опыт о соответственном мно-

гообразии не учил нас, что известные метрические понятия

имеют реальное значение и поэтому должны быть предпочита-

емы. Так обстоит, например, дело в геометрическом простран-

стве с вытекающим из постоянства объема тел определением10

элемента расстояния - ds2 = dx2 + dy2 + dz2, a в звуковых ощу-

щениях - с упомянутым уже выше логарифмическим выраже-

нием. В большинстве случаев подобных искусственных

построений отсутствуют такие опорные пункты, и все исследо-

вание оказывается поэтому бесплодным. Аналогия с простран-

ством теряет вследствие этого в полноте, плодотворности и

полезности.

11. Риман развил мысли Гаусса еще и в другом направле-

нии, исходя из исследования последнего относительно кривых

поверхностей. Меру кривизны данной поверхности в данной

точке Гаусс11 выразил через К = -, где ds обозначает элемент

ds

исследуемой поверхности, а АУ - элемент поверхности сферы,

принятой за 1, предельные радиусы которого параллельны пре-

дельным нормалям элемента ds. Эта мера кривизны может так-

же быть выражена в форме К = , где pl 5 p2 обозначают

Pi *Р2

главные радиусы кривизны исследуемой поверхности в данной

точке. Особый интерес представляют поверхности, мера кри-

визны которых имеет во всех точках одно и то же значение, по-

верхности с постоянной мерой кривизны. Если представлять

поверхности как бесконечно тонкие, нерастяжимые, но сгибае-

мые тела, то поверхности с равной мерой кривизны могут при

сгибании быть наложены друг на друга; так, например, можно

плоский лист бумаги обернуть вокруг цилиндра или конуса, но

этот лист бумаги не может быть наложен на поверхность шара.

При этой деформации и даже при любом сгибании измеритель-

ные отношения длин и углов фигур, начерченных в поверхно-

10 См. стр. 359.

11 Disquisitiones g?n?rales superficies curvas. 1827.

379

сти, остаются без изменения, если только при измерении не

выходить из двух измерений поверхности. Мера кривизны по-

верхности вовсе не зависит от формы последней в третьем из-

мерении пространства, а только от ее внутренних измерительных

отношений. Отсюда Риман пришел к мысли распространить по-

нятие меры кривизны на пространство трех и больше измере-

ний. В соответствии с этим он допускает возможность конечных

беспредельных пространств с постоянной положительной ме-

рой кривизны, соответственно беспредельной, но конечной

шаровой поверхности двух измерений, между тем как, по наше-

му обычному представлению, бесконечное пространство соот-

ветствует бесконечной плоскости с мерой кривизны равной

нулю; наконец, третий род пространства соответствовал бы по-

верхностям с отрицательной мерой кривизны. Фигура, начер-

ченная на поверхности некоторой постоянной кривизны, может

быть перемещена без искажения только на этой поверхности;

например, сферическая фигура может перемещаться только на

этой сфере, и плоская фигура - только в плоскости. Нечто по-

добное должно, по мысли Римана, существовать и для телесных

фигур, для твердых тел. Как это далее развил Гелъмголъц^, по-

следние могли бы свободно передвигаться только в пространст-

вах с постоянной мерой кривизны. Как кратчайшие линии в

плоскости бесконечны, на поверхности же шара имеют, как бо-

льшие круги сферы, некоторую конечную длину и замкнуты

(при продолжении возвращаешься к исходной точке), так Ри-

ман представляет себе конечным, но беспредельным то, что в

трехмерном пространстве положительной кривизны аналогич-

но прямой линии и плоскости. Но здесь встречается некоторое

затруднение. Если бы существовало понятие меры кривизны

для четырехмерного пространства, то переход к более специа-

льному случаю трехмерного пространства был бы понятен. Но

переход от специального к более общему случаю заключает в

себе нечто произвольное, и вполне естественно, что различные

исследователи пошли здесь различными путями13 (Риман, Kronecker).

Уже одно то обстоятельство, что для одномерного про-

странства - любой крисой линии не существует меры

кривизны в смысле ее внутренней меры и что эта мера кривизны

является лишь в двумерном пространстве, возбуждает в нас во-

12 ?ber die Tatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. G?ttinger Nachrichten,

1868, 3 Juni.

1 См. напр. Kronecker, ?ber Systeme von Funktionen mehrerer Variablen. Ber. d.

Berliner Akademie, 1869.

380

прос, имеет ли вообще то, что аналогично этому в трехмерном

пространстве, какой-нибудь смысл, и в каких пределах? Не

впадаем ли мы здесь в иллюзию, оперируя с символами, кото-

рым, может быть, вообще ничего действительного не соответ-

ствует, во всяком случае ничего наглядного, чем мы могли бы

проверять и исправлять наши понятия?

Мы дошли теперь до высших и наиболее общих идей о про-

странстве и его отношениях к аналогичным многообразиям, ко-

торые возникли из взгляда Гаусса на эмпирическое обоснование

геометрии. Но развитие этого взгляда имеет двухтысячелетнюю

историю, основные факты которой нам удастся, может быть,

лучше обозреть с высоты, на которой теперь стоим.

12. Наивные люди, приобретавшие с масштабом в руках

первые геометрические познания, придерживались простейших

телесных образов - прямой линии, плоскости, круга и т. д. - и

исследовали связи измерений на формах, которые можно было

рассматривать как комбинации этих простых образов. От них не

мог ускользнуть тот факт, что подвижность тела ограничивается,

если закрепить одну, затем две точки его, а при закреплении трех

точек возможность перемещения совершенно исчезает. Наблю-

дая в отдельности вращение вокруг оси, вокруг двух точек или

вращение в плоскости вокруг одной точки, как и перемещение

при постоянном соприкосновении двух точек с прямой линией

и третьей точки - с некоторой неподвижной плоскостью, про-

ходящей через эту прямую, учились различать чистое вращение,

чистое перемещение и движение, комбинированное из этих двух

независимых движений. Первая геометрия, естественно, не была

основана на чисто-метрических понятиях, а находилась под си-

льным воздействием физиологического момента, созерцания14.

Этим объясняется появление двух различных основных мер:

(прямой) длины и угла (круговой меры). Прямая понималась как

твердое подвижное тело (масштаб), а угол - как вращение прямой

около другой прямой (измеряемое описанной при этом дугой).

Никто, конечно, не требовал особого доказательства равенства

описанных этим вращением вертикальных углов. И другие тео-

ремы об углах получались весьма просто. Если мы вращаем пря-

мую b (фиг. 21) около точки пересечения ее с прямой до

совпадения с этой последней, описывая угол а, и затем вращаем

ту же линию около точки пересечения ее с прямой а до совпаде-

ния с этой последней, описывая угол в, то линия b от первонача-

льного своего положения до конечного в а делает поворот на

См. стр. 338, 360.

381

Фиг. 21 Фиг. 22

угол м; отсюда внешний угол и = а+ ?, a так как и + г= 2Л, то и

б+ в+ г= 2R15. Если (фиг. 22) перемещать неподвижную систему

пересекающихся в точке 1 прямых af b, с в их плоскости до точки

2 так, чтобы прямая а не меняла своего положения, то при этом

чистом перемещении ни один угол не меняется. Сумма внутрен-

них углов возникающего при этом треугольника 1 2 3 очевидно

равна 2R. То же рассуждение освещает и свойства параллельных

линий. Какие-нибудь сомнения вроде тех, действительно ли эк-

вивалентно последовательное вращение вокруг многих точек

вращению вокруг одной точки, существует ли вообще чистое пере-

мещение - сомнения, которые оказываются совершенно основа-

тельными, если вместо (Евклидовой) плоскости взять поверхность

с кривизной, отличной от нуля, - не могли, конечно, возник-

нуть на этой ступени у наивного исследователя, открывшего эти

отношения. Рассмотрение движений твердых тел, которого Евк-

лид тщательно избегал и вводил только в скрытом виде в прин-

ципе совмещения, еще и в настоящее время является самым

целесообразным средством при элементарном преподавании гео-

метрии. Наилучший путь для усвоения учащимися знаний есть

тот, которым эти знания были некогда добыты.

13. Здоровое, наивное понимание исчезло и в обработке гео-

метрии произошли существенные изменения, как только она

С. R. Kosack, Beitr?ge zu einer systematischen Entwicklung der Geometrie aus der

Anschauung. Nordhausen, 1852. - Работу эту любезно доставил мне профес-

сор F. Pietzker в Нордгаузене. - Подобные же простые выводы можно найти

у Bernharde Beckefb (Leitfaden f?r den ersten geometrischen Unterricht in der

Geometrie. Frankfurt a. M., 1874) и в другой работе того же автора: ?ber die

Methode des geometrischen Unterrichts. Frankfurt a. M. 1845. - Первую из этих

работ я получил благодаря любезности М. Шустера в Ольденбурге.

382

стала предметом мышления ученых специалистов. Прежде всего

оказалось необходимым для удобства собственного обзора при-

вести знания в систему, отделить непосредственно познанное от

выводимого и выведенного и ясно указать ход вывода. В целях

преподавания были поставлены во главу простейшие знания,

легче всего поддающиеся усвоению и не подлежащие, как каза-

лось, сомнению и отрицанию, и на них обоснованы другие. Эти

основные положения старались ограничить самым необходи-

мым, как мы то видим в системе Евклида. При этом стремлении

обосновать каждое знание на другом и только самое немногое

предоставить непосредственному познанию, геометрия посте-

пенно отрывалась от той эмпирической почвы, на которой она

зародилась. Привыкли знание, полученное путем выводов, це-

нить выше знания, полученного из непосредственного воззре-

ния, и, наконец, стали требовать доказательств для положений,

в которых никто серьезно не сомневался. Так возникла --по

преданию, в ограждение от нападок софистов - логически со-

вершенная, законченная система Евклида. Но при этом искусст-

венном нанизывании положений на произвольно выбранную

нить вывода не только были намеренно скрыты пути исследова-

ния, но и остались неотмеченными многократные органические

связи геометрических учений16. Система скорее способна была

воспитывать боязливо бесплодных педантов, чем плодотворно и

производительно работающих исследователей. Положение дела

ничуть не улучшилось, когда схоластика, предпочитавшая рабски

комментировать продукты чужого ума, приучила людей к весьма

малой чувствительности относительно рациональности основных

допущений, но зато к тем большему вниманию к логической

форме вывода. От этого настроения болсе или менее страдает

вся эпоха от Евклида вплоть до Гаусса.

16 Система Евклида подкупала своими логическими преимуществами, вследст-

вие чего оставались незамеченными недостатки ее в иных отношениях. Вели-

кие исследователи вплоть до современной эпохи увлекались примером Евклида

и в ущерб науке при изложении результатов своих исследований старались

скрыть пути этих последних. Но науке не соответствуют искусственные при-

емы адвокатов. Научно изложение, в котором все мотивы мыслей так изложе-

ны, что значение и правильность их могут быть всегда проверены. Учащегося

не следует вводить в науку с полузакрытыми глазами. Вследствие этого среди

философов и дидактиков Германии явилась здоровая реакция, исходившая

главным образом от Гербарта, Шопенгауэра и Тренделенбурга. Это течение

старалось ввести в преподавание большую наглядность, более генетический

метод и логически более прозрачные выводы. См. современные сочинения:

M. Pasch (Vorlesungen ?ber neuere Geometrie. Leipzig, 1882), D. Gilbert (Grundlagen

der Geometrie. Leipzig, 1899).

383

14. Среди положений, на которых Евклид построил свою си-

стему, находится так называемое пятое требование (обозначен-

ное так же, как 11 аксиома): «две прямые, пересеченные третьей

таким образом, что сумма внутренних углов, лежащих по одну

сторону секущей, меньше двух прямых углов, при достаточном

продолжении пересекаются на этой стороне». Евклиду легко уда-

ется доказать, что две прямые, образующие с третьей, секущей

равные соответственные углы, не пересекаются, параллельны.

Но обратное положение, что две параллельные образуют со вся-

кой секущей равные соответственные углы, ему приходится уже

обосновать на пятом требовании. Это обратное положение рав-

нозначуще с положением, что через точку можно провести к

прямой только одну параллельную ей. Так как с помощью этого

обратного положения доказывается, что сумма углов треуголь-

ника равна 2R, и так как из этого последнего положения опять-та-

ки вытекает первое, то этим ясно обнаруживается связь назван-

ных положений и выясняется фундаментальное значение пятого

требования для геометрии Евклида.

15. Пересечение слабосходящихся прямых лежит за предела-

ми построения и наблюдения. Понятно поэтому, что последова-

тели Евклида, приученные им к строгости логических выводов,

ввиду важности утверждения, заключающегося в пятом требова-

нии, уже в античную эпоху старались доказать это утверждение

или заменить его положением, непосредственно очевидным. От

Евклида вплоть до Гаусса было предпринято множество бесплод-

ных попыток вывести содержимое пятого требования из осталь-

ных допущений Евклида. Зрелище чрезвычайно возвышенное:

движимые исключительно чистым стремлением к научному вы-

яснению, люди на протяжении многих столетий занимаются

отыскиванием источника познания, в правильности которого ни

один теоретик и ни один практик на самом деле не сомневался

серьезно вплоть до настоящего дня. С напряжением мы следим

за этими настойчивыми проявлениями этической силы научного

стремления и с радостью наблюдаем, как неудачи мало-помалу

приводят исследователей к мысли, что только опыт есть истин-

ная основа геометрии. Проследим это развитие на нескольких

примерах.

16. К исследователям, имеющим большие заслуги в учении о

параллельных линиях, принадлежат итальянец Saccheri и немец-

кий математик Lambert. Чтобы ясно показать способ, которым

оба они приступают к этому вопросу, заметим предварительно,

что существование прямоугольников и квадратов не может быть

доказано без помощи пятого требования, хотя нам и кажется,

384

в >

Фиг. 23

что мы постоянно наблюдаем их. Рассмотрим, например, два

равные, равнобедренные и прямоугольные у А и D треугольника

ABC к ОВС(фит. 23), сложенные гипотенузами ВСтак, что обра-

зуют равносторонний четырехугольник ABCD. Для определения

рода и величины обоих равных (прямых) углов у В и С недоста-

точно первых 37 теорем Евклида. Мера длины и мера угла по су-

ществу своему различны и их невозможно прямо сравнивать;

поэтому первые теоремы относительно связи сторон и углов тре-

угольника имеют только качественный характер; поэтому здесь

безусловно необходима количественная теорема об углах, вроде,

например, теоремы о сумме углов в треугольнике. Заметим еще,

что можно дать аналогичные 27 теоремам планиметрии, столько

же теорем для шаровой поверхности и поверхностей постоянной

отрицательной кривизны и что тогда аналогичные построения

углов у В и С дадут тупой угол для первой поверхности и

острый - для второй.

17. Главная заслуга Saccheri17 заключается в форме поста-

новки у него проблемы. Если пятое требование содержится уже в

остальных допущениях Евклида, то и без него должна существо-

вать возможность доказать, что в четырехугольнике ABCD (фиг. 24)

с прямыми углами в А и В и при условии AC- BD углы в С и D

суть прямые. И напротив, допущение, что Си D суть углы тупые

или острые, должно в этом случае привести к противоречиям.

Saccheri таким образом старается выводить следствия из гипотез

прямого, тупого или острого угла. Ему удается доказать, что каж-

дая из этих гипотез правильна во всех случаях, если только она

верна в одном случае. При помощи какого-нибудь одного треуго-

льника, сумма углов которого равна, больше или меньше 2R, бу-

дет доказана в общем виде правильность гипотезы прямого,

тупого или острого угла. Замечательно, что Saccheri указывает

уже на физически-геометрические опыты, подтверждающие ги-

потезу прямого угла. Если прямая CD (фиг. 24) соединяет концы

двух равных перпендикуляров АСи BD, возведенных на прямой

AB, и если перпендикуляр NM, опущенный из какой-нибудь

Euk?des ab omni naevo vindicatus. Mediolani, 1733. Переведено в издании Engel

und Stachel, Die Theorie der Parallellinien. Leipzig, 1895.

385

точки TV первой прямой на прямую AB, равен СА и DB, то прави-

льность гипотезы прямого угла доказана. Что линия, находящая-

ся на равном расстоянии от прямой линии, есть тоже прямая,

Saccheri основательно не считает положением самоочевидным.

Стоит вспомнить только, что круг, параллельный к большому

кругу шара, не представляет кратчайшей линии на шар и обе

стороны его не покрывают друг друга. Другие эксперименталь-

ные доказательства правильности гипотезы прямого угла тако-

вы. Если доказано, что угол в полукруге (фиг. 25) есть прямой

угол (а+ р= R), то и 2а + 2? = 2Л, a это и есть сумма углов в треу-

гольнике ABC. Если радиус нанесен в полукруге 3 раза и прямая,

соединяющая первую и четвертую конечную точку, проходит че-

рез центр круга, то у точки С (фиг. 26) За = 2R и потому сумма

углов в каждом из трех треугольников равна 2R. Существование

треугольников неравной величины, но с равными углами (по-

добных треугольников) тоже можно доказать экспериментально.

В самом деле, если углы у В и С (фиг. 27) дают в+ д+ г+ е= 4 J?, то

и 4Rравна сумма углов в четырехугольнике ВСВ'С'. Еще Wallis^

обосновал в 1663 году доказательство пятого требования на до-

пущении существования подобных треугольников, а один совре-

менный геометр, Делъбёф, вывел всю геометрию Евклида из

допущения сходства.

Б

Фиг. 25

С

Фиг. 26

Гипотезу тупого угла, полагал Saccheri, опровергнуть нетрудно.

Приступив же к опровержению гипотезы острого угла, он натолк-

нулся на затруднения и поиски за ожидаемыми противоречиями

18 Enge l und Stacke l, 1. с., стр. 21 и след.

386

A

В

Фиг. 27

увлекли его к выводу ряда дальнейших следствий, с которым впо-

следствии встретились Лобачевский и Bolyai в их исследованиях. В

конце концов он пришел к мысли, что последняя гипотеза дол-

жна быть отвергнута, как несовместимая с природой прямой ли-

нии, ибо она ведет к допущению различных прямых, совпадающих

в бесконечности и, следовательно, имеющих там общий перпенди-

куляр. Saccheri оказал существенное содействие и в значительной

мере подготовил позднейшую работу выяснения, но обнаружил

еще некоторую зависимость от традиционных взглядов.

18. Работа Lambert'а от 1766 года19 по методу своему родст-

венна работе Saccheri, но в выводах он идет дальше и обнаружи-

вает более свободный взгляд. Lambert исходит из рассмотрения

четырехугольника с тремя прямыми углами и исследует послед-

ствия, которые получаются, если принять, что четвертый угол

прямой, тупой или острый. Он находит, что подобие фигур не

совместимо со вторым и третьим допущением. Случай тупого

угла, с которым связана сумма углов треугольника, большая 2/?,

он находит осуществленным в геометрии сферической поверхно-

сти, в которой трудности параллельных линий совершенно отпа-

дают. Это приводит его к догадке, что случай острого угла, с

суммой углов треугольника, меньшей 2R, мог бы быть осуществ-

лен на некоторой мнимой сфере. Разность между 2R и суммой уг-

лов треугольника в обоих случаях пропорциональна площади

треугольника, что можно доказать соответствующим делением

больших треугольников на меньшие, причем с уменьшением

треугольников сумма углов его может быть сделана произвольно

близкой к 2R. Этим Lambert значительно приближается к точке

зрения современных геометров. Шар с мнимым радиусом г^ГЛ

ibid., стр. 152 и след.

387

не есть, правда, наглядный геометрический образ, но аналитиче-

ски он есть поверхность с отрицательной постоянной мерой

кривизны Гаусса. Случай этот еще раз показывает как экспери-

ментирование символами может привести исследование на пра-

вильный путь в той стадии, когда других точек опоры еще совсем

нет и когда следует ценить каждое средство, которое может ока-

заться полезным20. Думал же, по-видимому, и Гаусс о мнимой

сфере, как то видно из его формулы для окружности круга (письмо

к Шумахеру от 12 июля 1831 года). При всем том Lambert верит, что

настолько приблизился к доказательству пятого требования, что

недостающее легко дополнить.

19. Обратимся теперь к тому исследователю, взгляды кото-

рого знаменуют собой самый радикальный поворот в понима-

нии геометрии. К сожалению, он сообщил их лишь в кратких

устных или письменных замечаниях. «В геометрии Гаусс видел

последовательно построенное здание лишь в том случае, если во

главе этого здания ставится положение о параллельных линиях,

принятое как аксиома. Но он пришел к убеждению, что положе-

ние это не может быть доказано, но что оно известно из опыта,

например из углов треугольника: Брокен, Хохенхаген и Инзель-

берг (вершины в Германии), что оно приблизительно верно.

Если же не хотят принять названную аксиому, то отсюда следует

другая, совершенно самостоятельная геометрия, которую он от-

части исследовал и назвал анти-евклидовой геометрией». Тако-

вы были взгляды Гаусса, согласно сообщению Сарториуса фон

Валътерсгаузена21. Примыкая к этим взглядам, О. Stolz в неболь-

шой, но очень содержательной работе22 предпринял попытку

вывести основные положения Евклидовой геометрии, не остав-

ляя области фактов, поддающихся наблюдению. Изложим наи-

более важное из этой работы. Пусть нам дан один большой

треугольник ABC (фиг. 28) с суммой углов, равной 2?. Опустив

перпендикуляр AD на линию ЕС, мы дополняем фигуру, приба-

вив к ней BAE = ABD и CAF=ACD, и к фигуре BCFAE прибавля-

ем совместимую с ней фигуру CBHA'G. Таким образом мы

получаем один прямоугольник, ибо углы у Е, F, G, № прямые, а у

А, С, А', В - равные 2R и, следовательно, крайние линии суть

прямые и равны противолежащим линиям. Каждый прямоуго-

льник может быть разделен на два совместимых прямоугольника

20 См. примечание на стр. 378.

21 Gauss zum Ged?chtnis. Leipzig, 1856.

22 Daz letzte Axiom der Geometrie. Berichte des naturw.-medizin. Vereins zu Innsbruck,

1886, стр. 25^34.

388

в

З

D

С

Н

В

Б'

Фиг. 28 Фиг. 29

перпендикуляром, восстановленным к середине одной его сто-

роны, а, продолжая деление, можно получить перпендикуляр на

каком угодно месте разделенной стороны. И то же самое можно

сделать и со второй парой противоположных сторон. Таким об-

разом можно из данного прямоугольника ABCD (фиг. 29) вырезать

какой угодно меньший прямоугольник AMQP с каким угодно от-

ношением сторон. Диагональ разделяет этот меньший прямо-

угольник на два совместимых прямоугольных треугольника, так

что в каждом из них (независимо от отношения сторон) сумма

углов равна 2R. Каждый косоугольный треугольник можно про-

ведением высоты разложить на прямоугольные треугольники, из

которых каждый может быть в свою очередь тем же способом

разложен на прямоугольные треугольники с меньшей длиной

сторон, и таким образом 2R оказывается равной сумме углов

каждого треугольника, если только это оказывалось (до точности)

верным для одного треугольника. С помощью таких, основанных

на наблюдении, положений легко вывести, что противоположные

стороны прямоугольника (или вообще так называемого паралле-

лограмма) везде, на каком угодно продолжении, остаются на

равном расстоянии друг от друга, т. е. не пересекаются. Эти ли-

нии имеют, следовательно, свойства параллельных линий Евкли-

да, а потому и могут быть так названы и определены. В такой же

мере следует из свойств треугольников и прямоугольников, что

две прямые, пересеченные третьей прямой так, что сумма внут-

ренних углов по одну сторону этой последней меньше 2R, по

этой ее стороне и пересекаются, а по обеим сторонам от точки

своего пересечения расходятся до бесконечности. Отсюда следу-

ет, что прямая бесконечна. Таким образом то, что в качестве аксио-

мы, в качестве исходного положения, было лишенным основания

утверждением, может иметь смысл как вывод.

20. Таким образом геометрия есть применение математики к

опыту относительно пространства. Подобно математической фи-

зике, она становится дедуктивной точной наукой только тем, что

389

объекты опыта изображает схематическими, идеализированны-

ми понятиями. Подобно тому как механика может утверждать

постоянство масс или сводить взаимодействие тел к одним уско-

рениям лишь в пределах ошибок наблюдения, так и существова-

ние прямых, плоскостей, величины суммы углов треугольника

и т. д. возможно утверждать лишь с тою же оговоркой. Но так

же, как физика иногда оказывается вынужденной заменять свои

идеальные допущения другими, обыкновенно более общими,

например постоянное ускорение падающего тела - ускорением,

зависящим от расстояния, постоянное количество теплоты -

переменным и т. д., так должна делать это и геометрия под дав-

лением фактов или в виде попытки ради научного выяснения23.

После сказанного перед нами явятся в правильном свете попыт-

ки Лежандра, Лобачевского и обоих Bolyai, из которых младший

находился, может быть, под косвенным влиянием Гаусса.

21. На попытках Schweickarfa и Taurinus'a, тоже современ-

ников Гаусса, мы останавливаться не будем. Работы Лобачевско-

го были первыми, которые стали известны в широких кругах и

оказали влияние (1829). Очень скоро вслед за этим обнародовал

свою работу младший Bolyai (1833), который во всех существен-

ных пунктах сходится с Лобачевским, отличаясь только формой

выводов. Судя по актам, теперь легко и в обилии доступным,

благодаря прекрасным изданиям EngeFsi и St?ckeFx1* можно

предположить, что и Лобачевский предпринял свои исследова-

ния в надежде, что отрицание аксиомы Евклида приведет к про-

тиворечиям. Но когда это ожидание не оправдалось, у него

хватило интеллектуального мужества сделать отсюда все выводы.

Лобачевский излагает свои выводы в синтетической форме. Но

мы можем представить себе те общие аналитические рассужде-

ния, которые, по всей вероятности, подготовили построение его

геометрии. Возьмем точку вне прямой g (фиг. 30) и из нее опус-

тим на эту прямую перпендикуляр р.

Фиг. 30

23 Разницу между геометрией и физикой Дюгем (La Th?orie physique, стр. 290)

считает основной и качественной, а я усматриваю здесь только разницу в сте-

пени.

24 F. Engel, N. L Lobatschefskij, Zwei geometrische Abhandlungen. Leipzig, 1899.

390

Фиг. 31

В плоскости gp проведем через ту же точку прямую, образую-

щую с перпендикуляром острый угол s. Если теперь испытать до-

пущение, что g и А не пересекаются, но что это пересечение

произойдет при малейшем уменьшении угла s, то однородность

пространства вынуждает к выводу, что и вторая прямая k с тем же

углом s по другую сторону перпендикуляра имеет те же свойства.

Все проведенные через ту же точку непересекающиеся прямые

будут в таком случае лежать между h и k. Эти последние линии,

составляющие пределы пересекающихся и непересекающихся ли-

ний, Лобачевский и называет параллельными. Во введении к сво-

им «Новым началам геометрии» (1835) Лобачевский рассуждает

вполне как натуралист. Никто, конечно, не может предположить,

чтобы сколько-нибудь разумный человек допустил «угол паралле-

льности» s значительно меньшим, чем прямой, у прямых линий,

которые столь близко лежат друг к другу, что их пересечение де-

лается очевидным уже при небольшом их продолжении. Хотя

расчленяемые здесь отношения могут быть изображены лишь

грубыми чертежами, но должно помнить, что в действительности,

при данных размерах чертежа, отклонение s от прямого угла дол-

жно быть так мало, что для нашего глаза линии h и k совпадают до

неразличимости. Продолжим теперь перпендикуляр p за точкой

пересечения его с А и проведем через конечную его точку новую

параллель / к А, которая, конечно, параллельна и к g. Новый угол

параллельности s '< s, если только мы не желаем в отношении ли-

ний А и / опять вернуться к определениям Евклида. Продолжая

далее перпендикуляр и проводя новые параллельные, мы нахо-

дим, что угол параллельности будет все уменьшаться. Если, далее,

отстоящие прямые сильнее сходятся, то, ради последовательно-

сти, должно принять, что при сближении линий, при уменьше-

нии перпендикуляра, угол параллельности, наоборот, возрастает.

Таким образом угол параллельности есть обратная функция пер-

пендикуляра p и Лобачевский обозначает ее II (р). Пучок паралле-

лей в одной плоскости изображен схематически на фигуре 31.

391

Все параллели асимптотически сближаются со стороны своего

схождения. Равномерность пространства требует, чтобы каждая

«полоса» между двумя параллелями была совместима со всякой

другой, поскольку перемещение производится лишь в направле-

нии длины их.

Фиг. 32

22. Представим себе, что круг беспредельно увеличивается;

его радиусы должны перестать пересекаться, когда при нараста-

нии лежащих между ними дуг схождение их будет соответство-

вать параллелизму. Круг переходит тогда в так называемую

«предельную линию». Аналогично с этим шаровая поверхность

при беспредельном увеличении превращается в поверхность, ко-

торую Лобачевский называет «предельной поверхностью». Отно-

шение предельной линии к предельной поверхности таково же,

как большого круга на шаре к шаровой поверхности. Геометрия

шаровой поверхности независима от аксиомы параллельных ли-

ний. Так как можно доказать, что треугольники из предельных

линий на предельной поверхности столь же мало нарушают пра-

вило о сумме углов, как конечные сферические треугольники на

шаре бесконечного радиуса, то для этих предельных треугольни-

ков имеют силу правила геометрии Евклида. Чтобы найти точки

предельной линии, берем пучок параллелей (в плоскости): да,

6?, су, db,... (фиг. 32) и к точке а на прямой аа определяем точки

Ъ, су d... на остальных параллелях таким образом, что углы

aab = рея, аас = уса, aad = bda ... При однородности всего по-

строения каждая из параллелей может быть рассматриваема, как

«ось» предельной линии, которая, вращаясь около этой оси,

описывает предельную поверхность. Таким же образом можно

каждую из параллелей рассматривать как ось предельной повер-

хности. На том же основании все предельные линии и предель-

ные поверхности совместимы. Пересечение каждой плоскости с

предельной поверхностью есть круг, и только когда ось лежит в

плоскости, мы получаем вместо круга предельную линию. В гео-

392

метрии Евклида нет ни предельных линий, ни предельных по-

верхностей. Аналогами их являются в ней прямая линия и

плоскость. Если нет предельной линии, то три произвольные

точки, не лежащие на одной прямой, должны лежать на круге.

На этом основании /. Bolyai мог заменить этим последним тре-

бованием аксиому Евклида.

23. Пусть (фиг. 32) яа, ??, су... представляют систему парал-

лелей и ае, al9 е{, а2, е2... систему предельных линий, из которых

каждая система делит другую на равные части. Отношение двух

предельных дуг между одними и теми же параллелями, напри-

мер ad=u и a^d^-u ', зависит тогда исключительно от расстояния

между ними, т. е. от аа^х. Можно положить вообще, что

и ч

- = е-, причем k выбирается так, чтобы е было основанием на-

и' k

туральных логарифмов. Этим путем вводятся экспоненциальные

и через них гиперболические функции. Для угла параллельности

1 - р находим: s = cot- II(/?) = ek. При/? = 0, s = -, а при/? = оо, s = 0.

Рассмотрим один пример, освещающий отношение геомет-

рии Лобачевского к геометрии Евклида и сферической геометрии.

Для прямолинейного треугольника Лобачевского со сторонами а,

Ь, с и противолежащими углами А, В, С мы имеем, если С есть

прямой угол:

Л б Л с .

sh - = sh - sin A

k k

При этом sh означает гипербологический синус.

ех -е~х exi -e~xi

s h x= , smjc= , или

2 2/

ч ч3 ч5 ч7 ч ч3 ч5 ч7

ShX = V. + ^\+^\+~J\+K и8шх=--- + ---+к

Если рассматривать содержащиеся в предыдущем отноше-

нии sin (xi) = / · sh ч или sh (xi) = / · sin x между круговой и гипер-

болической функциями, то нетрудно видеть, что приведенная

выше формула для треугольника Лобачевского переходит в фор-

мулу сферического треугольника sin- = sin-sin А, если в первой

k k

заменить k через ki и рассматривать k как радиус шара, которо-

му, правда, в обычных формулах дают значение единицы. Об-

ратное превращение сферической формулы в формулу

Лобачевского тем же путем ясно само собой. Для k, очень боль-

шого сравнительно с а и с, мы можем ограничиться первым

15 Познание и заблуждение 393

членом разложения sh или sin и в обоих случаях получаем

а с

- = - · sin А или а = с · sin А, т. е. формулу плоской геометрии Ев-

k k

клида, которую мы таким образом рассматриваем как предель-

ный случай как геометрии Лобачевского, так и сферической

геометрии для очень больших значений k или для k = оо. Мы мо-

жем также сказать, что в бесконечно малом все три геометрии

совпадают.

24. Итак, мы видим, что, допустив сходимость параллельных

прямых, мы можем развить систему геометрии, свободную от

внутренних противоречий. Правда, это допущение не подтверж-

дается ни одним наблюдением доступных нам геометрических

фактов и в такой мере противоречит нашему геометрическому

инстинкту, что делает вполне понятным отношение старых ис-

следователей, как SacchenH Lambert. Наше представление, руко-

водимое созерцанием и привычными евклидовскими понятиями,

может только частями и постепенно приспособляться к требова-

ниям геометрии Лобачевского. Мы должны при этом руководст-

воваться больше геометрическими понятиями, чем чувственными

образами доступной нам небольшой пространственной области.

Должно однако признать, что математические количественные

понятия, при помощи которых мы самодеятельно изображаем

факты геометрического опыта, не абсолютно соответствуют этим

последним. Как и физические теории, геометрическая теория

более проста и точна, чем то собственно может быть доказано

опытом с его случайными уклонениями. Разные понятия могут в

области, доступной наблюдению, одинаково точно выражать

факты. Таким образом должно отличать факты от умственных

образов, которые они возбудили. Последние, т. е. понятия, дол-

жны быть лишь согласимы с наблюдением и кроме того логиче-

ски не противоречить друг другу. Эти два требования могут быть

однако осуществлены многообразно, и отсюда различные систе-

мы геометрии.

25. Из работ Лобачевского видно, что они представляют резу-

льтат долголетнего и напряженного умственного труда, и можно

предполагать, что он сначала должен был общими рассуждения-

ми и аналитическими вычислениями выработать себе общую

картину своей системы, прежде чем был в состоянии изложить

ее в синтетической форме. Привлекательной эту тяжеловесную

Евклидовскую форму никак нельзя назвать и, может быть, имен-

но этой форме главным образом надо приписать то, что значе-

ние работ Лобачевского и Bolyai так поздно получило всеобщее

признание.

394

26. Лобачевский развил только следствия, вытекающие из ви-

доизменения пятого требования Евклида. Если же отвергнуть

положение Евклида, что «две прямые не ограничивают простран-

ства», то приходят к некоторой противоположности геометрии Ло-

бачевского1^ . В отношении поверхностей это есть сферическая

геометрия. Вместо Евклидовских прямых линий мы имеем здесь

большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каж-

дая пара которых образует два сферических двуугольника. Здесь,

следовательно, совсем нет параллелей. Возможность подобной

геометрии в трехмерном пространстве (с положительной мерой

кривизны) впервые указал Риман. Ее, по-видимому, не допускал

Гаусс, может быть, из пристрастия к бесконечности пространст-

ва. Гелъмголъц26, который развивал далее именно в физическом

смысле исследования Римана, напротив, в первой своей работе

оставил без внимания пространство Лобачевского, т. е. простран-

ство с отрицательной мерой кривизны (с мнимым параметром

k). Действительно, рассмотрение этого случая ближе математи-

ку, чем физику. Гелъмголъц обсуждает здесь только случай Евкли-

да с мерой кривизны, равной нулю, и пространство Римана с

положительной мерой кривизны.

27. Итак, факты пространственного наблюдения мы можем

изображать со всей доступной нам точностью как при помощи

геометрии Евклида, так и при помощи геометрии Лобачевского и

Римана, если только в двух последних случаях примем параметр

k достаточно большим. До сих пор физики не имели оснований

отказаться от допущения геометрии Евклида, т. е. k = оо. По ока-

завшейся целесообразной привычке они придерживаются про-

стейших предположений до тех пор, пока факты не принудят их

к усложнению или видоизменению этих предположений. Это

соответствует и точке зрения всех выдающихся математиков в

отношении прикладной геометрии. Поскольку однако взгляды

натуралистов и математиков в этих вопросах различны, объясня-

ется это тем, что для первых физически данное имеет величай-

шую важность, геометрия же есть только привычное средство

для его исследования, между тем как для последних именно эти

вопросы представляют величайший специальный и в особенно-

сти гносеологический интерес. Но раз математик попытался

изменить ближайшие и простейшие предположения, которые

внушал ему геометрический опыт, и раз эта попытка увенчалась

25 См. работу De Tilly, цитированную на стр. 363.

26 ?ber die tats?chlichen Grundlagen der Geometrie, 1866. Wissenschaftliche Abhandlungen.

II, стр. 610 и сдед.

is* 395

для него расширением понимания, то, конечно, такие попытки

должны были развиваться и далее, в интересе уже чисто матема-

тическом. Были развиты системы геометрии, аналогичные при-

вычной нам геометрии, но с точки зрения предположений еще

более свободных, еще более общих, для любого числа измере-

ний, не претендующие быть чем-либо, кроме научных экспери-

ментов в мыслях, без притязаний на применение к чувственной

действительности. Достаточно указать здесь на движение вперед

математики в работах Клиффорда, Клейна, Ли и др. Весьма редко

какой-нибудь мыслитель так уходил в свои теоретические по-

строения и настолько отрывался от действительности, чтобы ду-

мать, что данное нам чувственное пространство имеет больше

трех измерений, или изображать это пространство при помощи

геометрии, значительно уклоняющейся от Евклидовской. Гауссу,

Лобачевскому, J. Bolyai, Риману это было вполне ясно, и они во

всяком случае не ответственны за те дикие мнения, которые

были высказаны в этой области впоследствии.

28. Не во вкусе физика делать предположения относительно

свойств геометрических образов в бесконечности, ему недоступ-

ной, и затем сравнивать эти последние с ближайшим опытом и к

нему их приспособлять. Он предпочитает (как это сделал в своей

работе Stolz) рассматривать, как источник своих понятий, непо-

средственно данное и значение этих понятий затем распростра-

няет и на область недоступного ему бесконечного до тех пор,

пока не увидит себя вынужденным их изменить. Но и он должен

быть весьма благодарен за выяснение того факта, что существует

несколько удовлетворяющих делу геометрий, что можно справи-

ться с делом и при помощи конечного пространства и т. д., од-

ним словом, за устранение традиционных ограничений мышления.

Если бы мы жили на поверхности планеты с мутной, непрозрач-

ной атмосферой и, обладая только наугольником и измерительной

цепью, приступили бы к измерениям, исходя из предположения

плоской поверхности, то нарастание нарушений правила отно-

сительно суммы углов в случае больших треугольников скоро за-

ставило бы нас заменить нашу планиметрию сферометрией.

Возможности аналогичных данных опыта в трехмерном про-

странстве физик в принципе не может исключить, хотя явления,

вынуждающие к допущению геометрии Лобачевского или Рима-

на, столь чудовищно противоположны всему, к чему мы до сих

пор привыкли, что никто не считает наступления их вероятным.

29. Вопрос, представляет ли данный физический объект пря-

мую линию или дугу круга, неправилен по форме своей поста-

новки. Натянутая нить или световой луч не есть, конечно, ни то,

396

ни другое; Вопрос может быть только о том, реагирует ли наш

объект пространственно так, что он лучше соответствует одному,

чем другому понятию и соответствует ли он вообще с достаточ-

ной и достижимой точностью одному из геометрических понятий.

Если этого нет, то возникает вопрос, можем ли мы практически

устранить или, по меньшей мере, мысленно определить и учесть

отклонение от прямой или круга, т. е. можем ли мы исправить ре-

зультат измерения. Но при практическом измерении мы всегда

делаем только одно: сравниваем физические объекты. Если бы

оказалось, что при прямом исследовании эти последние соответ-

ствуют геометрическим понятиям со всей возможной точно-

стью, но косвенные результаты измерения больше отклоняются

от теории, чем то допустимо в пределах возможных ошибок, то

мы действительно были бы вынуждены изменить наши физиче-

ски-метрические понятия. Физик однако будет прав, если он по-

дождет наступления этого положения, между тем как перед

математиком с его рассуждениями поле действий всегда свободно.

30. Понятия натуралиста о пространстве и времени суть наи-

более простые понятия. Пространственные и временные объек-

ты, соответствующие их требованиям, могут быть устроены с

большой точностью. Почти каждое отклонение, которое еще мо-

жет быть замечено, возможно устранить. Каждое построение в

пространстве или времени можно мыслить осуществленным, не

делая насилия над фактами. Прочие физические свойства тел

настолько зависят друг от друга, что произвольные фикции на-

ходят здесь тесные рамки в фактах. Совершенного газа, совер-

шенной жидкости, совершенно упругого тела не существует;

физику известно, что его фикции соответствуют фактам только

приблизительно, произвольно упрощая их; ему известны откло-

нения, которые не могут быть устранены. Шар, плоскость и т. д.

можно мыслить сделанными с какой угодно точностью, не про-

тивореча никаким фактам. Если, поэтому, какой-нибудь физи-

ческий факт требует видоизменения наших понятий, физик

охотнее жертвует менее совершенными понятиями физики, чем

более простыми, более совершенными и устойчивыми понятия-

ми геометрии, составляющими самую твердую основу всех его

построений.

31. Но, с другой стороны, физик может извлечь существен-

ную пользу из работ геометров. Наша геометрия относится все-

гда к объектам чувственного опыта. Но если мы оперируем с

абстрактными вещами, как то атомами и молекулами, которые

по самой природе своей не могут быть даны нашим чувствам, мы

не имеем более никакого права обязательно мыслить эти вещи в

397

отношениях, в относительных положениях, соответствующих

Евклидову трехмерному пространству нашего чувственного опы-

та. Это в особенности должен принимать во внимание тот, кто

считает атомистические теории необходимыми27.

32. Вернемся к происхождению геометрии из практической

потребности. Познание пространственной субстанционально-

сти, пространственного постоянства протяженной вещи, не-

смотря на ее движения, является для нас биологически необходи-

мым, ибо существует некоторая связь между пространственным

количеством и количеством удовлетворения потребности. По-

скольку это знание не обеспечено достаточно самою нашею фи-

зиологическою организациею, мы употребляем наши руки и

ноги для сравнения с протяженным объектом. Но пользуемся ли

мы для сравнения нашими руками или искусственным масшта-

бом, раз мы сравниваем тела между собой, мы уже вступили в

область физики. Все физические определения относительны. Так

и все геометрические определения имеют значение, относитель-

ное к масштабу. Понятие меры есть понятие отношения, кото-

рое ничего не говорит нам о самом масштабе. В геометрии мы

только принимаем, что масштаб всегда и везде остается равным

тому, чему он где-либо и когда-либо оказался равным. Относи-

тельно самого же масштаба здесь не высказано ничего. Этим на

место пространственного физиологического равенства выступает

совершенно иначе определяемое физическое равенство, которо-

го также не следует смешивать с первым, как нельзя отождеств-

лять показаний термометра с тепловыми ощущениями. Правда,

практический геометр констатирует расширение нагретого мас-

штаба масштабом, остающимся в постоянной температуре, и об-

ращает внимание на то, что вследствие такого постороннего

пространству физического обстоятельства указанное выше отно-

шение равенства нарушается. Однако для чистой геометрии вся-

27 Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды

объяснить спектральные линии газов колебаниями друг относительно друга

атомов, входящих в состав молекулы газа. Затруднения, на которые я натолк-

нулся при этом, навели меня в 1863 году на мысль, что нечувственные вещи

не должны быть обязательно представляемы в нашем чувственном простран-

стве трех измерений. Таким путем я пришел к мысли об аналогах пространст-

ва различного числа измерений. Одновременно с этим изучение различных

физиологических многообразий (см. стр. 375) привело меня к вопросам, за-

тронутым в конце настоящей главы. Мысль о конечных пространствах, схо-

дящихся параллельных линиях и т. д., которая могла возникнуть только при

историческом изучении геометрии, была тогда далека от меня. Мои критики

прекрасно сделали бы, мне кажется, если бы не оставляли без внимания ого-

ворки, напечатанные курсивом. Подробности относительно этого см. в при-

мечаниях к моей работе «Erhaltung der Arbeit». Prag, 1872.

398

кое предположение относительно масштаба чуждо. Молчаливо,

но без достаточного основания, сохраняется привычка, обуслов-

ленная только физиологически, считать масштаб постоянным.

Было бы совершенно бесплодно и не имело бы никакого смысла,

если бы мы приняли, что масштаб, а следовательно и тела вооб-

ще с перемещением в пространстве претерпевают изменения

или остаются неизменными: ведь все это могло бы быть конста-

тировано опять только при помощи нового масштаба. Из этих

соображений обнаруживается относительность всех пространст-

венных соотношений.

33. Если критерий пространственного равенства существен-

но изменяется уже введением мер, то с введением понятия числа

в геометрию он претерпевает дальнейшее изменение, становится

точнее. Этим обусловливается большая тонкость различений,

какую простое понятие совмещения никогда не могло бы дать.

Только применение арифметики к геометрии приводит к поня-

тиям несоизмеримого, иррационального. Таким образом в наших

геометрических понятиях имеются чуждые пространству приме-

си; они изображают пространственное с некоторой свободой и

именно с произвольной большей точностью, чем то может быть

достигнуто пространственным наблюдением. Неполный контакт

между фактами и понятиями делает возможными разные геомет-

рические системы (теории)28. То же самое можно сказать и отно-

сительно физики29.

34. Все развитие, приведшее к перевороту в понимании гео-

метрии, следует признать за здоровое и сильное движение. Под-

готовляемое столетиями, значительно усилившееся в наши дни,

оно никоим образом не может считаться уже законченным. На-

против, следует ожидать, что движение это принесет еще бога-

тейшие плоды - и именно в смысле теории познания - не

только для математики и геометрии, но и для других наук. Буду-

чи обязано, правда, мощным толчкам некоторых отдельных вы-

дающихся людей, оно однако возникло не из индивидуальных,

но общих потребностей. Это видно уже из одного разнообразия

профессий людей, которые приняли участие в движении. Не то-

лько математики, но и философы, и дидактики внесли свою

долю в эти исследования. И пути, проложенные различными

исследователями, близко соприкасаются. Мысли, высказанные

28 Мы не можем предполагать, чтобы материя осуществляла все атомистиче-

ские фантазии физика. Столь же мало может удовлетворять пространство

(как объект опыта) всем идеям математика, что однако не должно возбуждать

сомнений в значении соответствующих исследований самих по себе.

29 См. примечание на стр. 390.

399