Часть 3.

шу точных весов, а на другую положить прямоугольник, площадь которого известна и равна 36 квадратным дюй­мам, - держу пари, они уравновесят друг друга».

«Да, они могут уравновесить друг друга, но можете ли вы показать, что так будет всегда?»

«Отчего же, могу, - ответил он. - Я могу повторить эту процедуру с различными параллелограммами».

То, что сказал этот мальчик, характерно для многих случаев мышления. Теперь у него есть слепая процедура плюс способ проверки с помощью взвешивания. И это все; и он вполне удовлетворен. Эта познавательная операция, так называемая индукция, сама по себе превосходная вещь, она часто необходима и в некоторых отношениях играет важную роль в современных эмпирических науках. Вместе с тем в соединении со слепой и, следовательно, дикой процедурой она не является для настоящего мыс­лителя ни действительным решением, ни конечным ре­зультатом. Хотя современная наука часто и основывается на индукции, она не останавливается на ней. Она продол­жает поиски лучшего понимания. (Приведем в качестве примера открытие Менделеева 1.)

1 В начале XIX в. английский химик Уильям Праут заметил, что атомные веса химических элементов приблизительно кратны весу атома водорода, и высказал предположение, что водород явля­ется materia prima. На основании этой гипотезы де Шанкуртуа заявил в 1862 г., что свойства химических элементов определя­ются числами. В 1871 г. Менделеев опубликовал свою знаменитую периодическую таблицу классификации химических элементов, в которой все элементы были расположены в восьми вертикальных и семи горизонтальных рядах. Это позволило ему показать, что свойства химических элементов, в частности их валентность, из­меняются в соответствии с изменением их атомного веса. Таким образом, атомный вес Менделеев рассматривал как фундаменталь­ную, важнейшую характеристику элементов. Это подтверждалось тем, что он мог предсказывать открытие неизвестных элементов, которые были необходимы для заполнения пустых мест в его таб­лице, исходя из соображений, основанных на периодичности и на регулярном возрастании атомного веса химических элементов.

Хотя классификация Менделеева была представлена им как чисто эмпирическое обобщение, она ясно указывала на фундамен­тальное единство материи.

В 1913 г., основываясь на атомных теориях Резерфорда и Бора, молодой английский ученый Мозли доказал, что именно числом атомов водорода, образующих атом данного элемента, или, точнее, числом протонов и, следовательно, электронов - атомным номером, а не атомным весом объясняются химические свойства элементов.

Так эмпирическое обобщение превратилось в конечном счете в дедуктивную теорию. - Прим. редактора амер. издания.

54

Будучи важным инструментом на своем месте, индук­ция сама по себе является скорее началом, а не концом. Но в данном случае она незаконна даже как начало, по­скольку не является необходимой и не связана с сущест­вом дела.

13. Рассмотрим для пояснения другой пример. Учитель демонстрирует классу, как определять площадь паралле­лограмма, проводя дополнительные линии, перенося тре­угольники слева направо и показывая в итоге, что пло­щадь равна произведению основания на высоту. В этом примере я предложил учителю использовать параллело­грамм, одна сторона которого, а, равнялась 2,5 дюйма, а другая, b - 5 дюймам. Была измерена высота h, кото­рая оказалась равной 1,5.

Затем я предложил другие задачи, указывая в каждом случае величину сторон а и b; высота измерялась, и сле­довало определить площадь параллелограмма:

а b Высота (измеренная) Площадь не­обходимо вычислить

1 2,5 5 1,5 7,5

2 2,0 10 1,2 12,0

3 20,0 1? 16,0 21?

4 15,0 1? 9,0 16?

Ученики решали эти задачи, испытывая некоторые труд­ности с умножением.

Вдруг один мальчик поднял руку. Глядя на тех, кто еще не кончил вычисления, с некоторым превосходством, он выпалил: «Глупо заниматься умножением и измере­нием высоты. Я нашел лучший метод определения пло­щади- он очень прост. Площадь равна а+b».

«Можешь ли ты как-нибудь объяснить, почему пло­щадь равна а+b?» - спросил я.

«Я могу доказать это, - ответил он. - Я вычислил пло­щадь во всех случаях. Зачем ломать голову, умножая b на h? Площадь равна а+b».

Тогда я дал ему пятую задачу: а=2,5; b=5; высо­та = 2. Мальчик начал считать, пришел в смятение, а за­тем, довольный, сказал: «В этой задаче сложение не дает

55

площади. Прошу прощения; а было бы здорово!»

«В самом деле?» - спросил я.

Это может служить примером слепого открытия, сле­пой индукции. Осмелюсь утверждать, что ни один разум­ный математик не одобрит столь очевидно бессмысленную индукцию. Он прибегнет к ней только в том случае, если исследуемый вопрос настолько темен, что не приходит в голову никакая идея о возможной разумной внутренней связи.

Могу добавить, что настоящая цель этого «нечестного» эксперимента, который, как вы видели, вполне удался, за­ключалась не просто в том, чтобы навести на ложный путь. Посетив этот класс раньше, я заметил, что в поверх­ностном обращении учеников с методом индукции кроется реальная опасность. Я хотел, чтобы эти ученики - и их учитель - ясно почувствовали рискованность такого отно­шения.

Можно, конечно, сказать, что мальчик ошибся в своей гипотезе просто потому, что она не была универсальной, потому, что она была обобщением, основанным лишь на небольшом числе случаев. Но это значит не понять сути дела. Предложенное равенство - площадь = а+b- бес­смысленно, потому что ничего не говорит о внутренней связи между площадью и а+b, о том, почему оно может оказаться разумным хотя бы в одном - единственном случае, поскольку не существует внутренней связи между ними.

14. Приведу еще более простой пример. Вы спрашивае­те ученика:

12=3 умноженное на сколько? Ответ: 4.

56 = 7 умноженное на сколько? Ответ: 8.

45 = 6 умноженное на сколько?

Предположим, что ученик ответил на третий вопрос: «Семь». И когда вы спросили его, почему он так думает, он сказал: «Разве это не очевидно? Четвертая цифра на единицу больше третьей:

12 3 4

56 7 8

45 6 7».

Разве здесь существенно, что ученик основывал свою «гипотезу» на очень малом числе случаев? Нет. Сама ги­потеза нелепа: увеличение чисел в этом случае не имеет никакого отношения к структуре ситуации, к требовани­ям ситуации, к соединению знаком равенства, к смыслу чисел, расположенных слева, к смыслу знака умножения

56

в правой части. Оно не связано с теми структурными свойствами, которые обусловливают требования к разумно­му решению или осмысленной гипотезе.

15. Теперь мы приведем дополнительные примеры ди­ких процедур, ведущих к правильному ответу. Ошибоч­ным здесь является не отсутствие доказательства, а то, что ни один из шагов этой процедуры не имеет разумной связи с заданием.

Как определить площадь прямоугольника:

I II

а - b 2) 1/a 3) 1/b 4) вычтите 2) из 3) 5) разделите 1) на результат, полученный в 4) замените a+b на с а2 разделите 2) на 1) вычтите 3) из a умножьте результат на 1)

16. Я выбрал искусственные примеры для того, чтобы объяснить суть дела, но подобные вещи случаются и без вмешательства психолога.

Ребенок в школе заучивает вместе с сопутствующими упражнениями формулы для периметра, 2(а+b), и для площади, а ? b, прямоугольника.

Спустя некоторое время ему предлагаются задачи, тре­бующие вычисления площади прямоугольников в контек­сте решения более широких задач. Ему приходит на ум формула 2(а+b), и он ошибочно использует ее, даже не подозревая об этом.

Либо он старается вспомнить формулу площади. Он может даже пытаться вспомнить страницу учебника, на которой встречается эта формула, и действительно вспо­минает эту страницу, но формула все же не приходит в голову. Он теряется, смотрит на результат соседа, заме­чает, что найденная площадь равна 25 при сторонах а и b, равных соответственно 10 и 2,5. «Понятно! - говорит он себе. - Теперь я вспомнил, как это делается: 10+2,5= 12,5, умножить это на 2, получается 25; 2(а+b)» - успо­каивается и энергично решает таким способом следующие задачи, получая неверные результаты, но даже не зная об

57

этом. (Может случиться, что в следующей задаче а=12, b=2,4; так что, взглянув для проверки на результат сосе­да, он убедится в своей правоте.) Ему даже не придет в голову проверить, годится ли вообще в данном случае эта формула. Однако, если бы ученик смело приступил к ре­шению задачи, он, может быть, и сумел бы восстановить самостоятельно даже забытую формулу.

Итак, является ли решающим только то обстоятельст­во, что ученик получил неправильный результат, что его формула не имела общего значения? Для того чтобы за­острить вопрос, представим себе следующую фантастиче­скую ситуацию. Задача вполне может быть решена ма­шиной, которая разрезает прямоугольник на мелкие квад­раты. Вы опускаете прямоугольник в щель, машина начинает работать, маленькие квадраты выпадают из ма­шины и могут быть сосчитаны либо вами, либо суммирую­щим механизмом аппарата. Допустим далее, что в ходе работы машина отбрасывает некоторое число маленьких квадратов, их число зависит от размеров прямоугольника. Вместе с тем машина всегда добавляет четыре квадрата 1. Такую машину легко сконструировать, и она по общему правилу будет неизменно выдавать результат 2 (а+b).

Исследователь чувствует большое желание заглянуть в машину и выяснить, каким образом почти закономерно получается такой странный результат. Если бы можно было открыть машину и заглянуть внутрь! Но допустим, что это запрещено или даже что такой машины вообще не существует, что все происходит без машины - чудес­ным образом - просто в результате разрезаний и вычис­лений...

Рис. 15

1 Применение формулы 2 (a+b) для вычисления пл