Часть 10.

те сначала рассмотрим сумму внешних углов». И что получится? Изгибаясь, угол в 180° разбивается на два «боковых угла», каждый из которых является прямым, и между ними появляется дельта (?), «угол вращения». Важны именно дельты, вращение.

Рис. 141 Рис. 142

И в целой фигуре по мере ее замыкания сумма дельт должна быть равна... полному обороту, углу в 360°, независимо от того, сколько у фигуры боковых сто­рон!

Каждая сторона имеет два внешних прямых угла, по одному на каждом конце. Может быть столько сторон и, следовательно, столько углов, сколько мы пожелаем; но в каждой фигуре углы вращения должны в сумме состав­лять полный угол. Это было «интуицией». В этот момент я чувствовал себя очень счастливым. Я чувствовал: «Те­перь я понимаю, в чем дело».

Что же, в сущности, произошло? Я начал с обычного представления об углах и о завершенности или замкну­тости. Я пытался понять, как возникает замкнутость; полный внешний угол при вершине превратился в два прямых угла плюс ?; я перестал связывать прямые углы с центральной идеей замкнутости, угол ? теперь рассмат­ривается вместе с другими ? в качестве угла, образующе­го полный угол вращения. При таком понимании углов важные углы ? неожиданно оказались связанными с зам­кнутостью фигуры. «И»-отношение А (сумма углов) и В (замкнутая завершенность) превратилось в согласован­ное, понятное, прозрачное единство. А и В больше не были просто рядоположенными отдельными вещами, те­перь они стали частями внутреннего единства. Замыка-

227

ние фигуры потребовало, чтобы ? дополнили друг друга до 360°. Этот процесс интеграции стал решением: то, что раньше было просто какой-то туманной и неудовлетвори­тельной суммой, теперь приобрело вполне определенную форму.

Мысль о том, что сумма углов ? равна 360°, возникла не как некое допустимое предположение, общее утвер­ждение или вера, а как «интуиция»: структура фигуры позволила увидеть внутреннюю связь между замкнуто­стью и всеми углами ?.

Вслед за этим быстро последовали следующие дейст­вия:

1) Было осознано, что должно произойти, если я шаг за шагом обойду фигуру, начиная с первой стороны пер­вой ?: для того чтобы замкнуть фигуру, я должен снова прийти к исходной прямой, совершив полный оборот. Сна­чала появилась общая идея 1; затем она была реализова­на в виде последовательности действий: одна сторона угла ?1 поворачивается на некоторый угол до совпадения с другой стороной, 2 параллельно переносится в положе­ние 3, поворачивается на угол ?2 и т. д. Чтобы обойти всю фигуру, осуществляя замыкание, и снова перейти в положение 1, сторона должна совершить полный оборот в 360°.

1 Позднее я нашел в одной книге замечание, принадлежащее физику Эрнсту Маху, который применил сходный метод. В ре­зультате суммирования б Мах тоже получил полный угол. Его

подход несколько отличается от нашего, угол разбивается не на R, ?, R, а на 2R, ?, что приводит к психологически иному способу образования полного угла.

228

Рис. 143

2) Сразу после этого возникла следующая мысль: до­пустим, что стороны фигуры стремятся к нулю. Что про­изойдет в таком случае? Расстояние между соседними

Рис. 144

параллельными сторонами боковых углов исчезнет, эти линии сольются в одну, совпадут также и вершины углов, и я получу именно ту картину, которая показана ниже: точку, которую окружает угловое пространство в 360°, построенное из углов d!

Рис. 146

3) Здесь возник следующий вопрос: а как обстоит дело с вогнутыми фигурами, которые не обладают ясной

229

структурой боковых углов с углом ? между ними? При такой постановке вопроса ответ ясен:

Рис. 147

это не имеет никакого значения; следует учесть, что сто­рона угла может поворачиваться в противоположную сто­рону, но все равно углы ? должны в сумме дать полный угол.

4) Обычный метод определения формулы для суммы внешних углов многоугольника теперь выглядел действи­тельно странным: «Сумма всех внутренних и полных внешних углов равна n · 4R...??+?e = n · 4R. Следовательно, сумма внешних углов равна n4R минус сумма внутрен­них углов. Поскольку из обычного доказательства с помо­щью треугольников 1 известно, что сумма внутренних углов равна n · 2R-4R, мы получаем формулу ?е = n · 4R- - (n ··2R-4R). Произведя вычитание, получаем: п · 4R-

1 Обычно сумму углов треугольника - 180°, или 2R (два пря­мых угла), - получают, не учитывая того, что треугольник явля­ется замкнутой фигурой. Обычное доказательство для суммы внут­ренних углов многоугольника заключается в следующем: построй­те внутри многоугольника ? треугольников так, чтобы каждая сто-

Рис. 148

рона многоугольника была основанием одного треугольника. Сум­ма углов всех треугольников равна n · 2R. Чтобы получить сумму внутренних углов многоугольника, вычтите из п · 2R смежные углы треугольников, которые располагаются вокруг средней точки. Сум­ма последних равна 4R. Следовательно: ?i = n ·2R-4R.

230

В этой формуле n · 2R есть результат вычитания n · 2R из n · 4R; 4R - это результат изменения знака члена -4R из формулы для внутренних углов. Величина чле­нов этой формулы не имеет прямого отношения к тому, как углы многоугольника замыкают фигуру 1. Меж­ду тем я понял, что в действительности представляет собой n · 2R.+4R: это сумма боковых углов, то есть пар прямых углов, прилегающих к каждой стороне (n · 2R) плюс полный оборот (4R), замыкание, осуществляемое углами ?.

5) В этот момент возникла любопытная мысль: поче­му мы называем треугольник именно треугольником? По­чему мы не называем его, например, четырехугольником или шестиугольником? Мы, конечно, можем его так назы-

Рис. 150

вать, поскольку фактически в каждой точке на его сторо­нах находится угол. Но мы не считаем эти углы. Поче­му? Разве количество углов может быть любым? Нет.

1 Конечно, член 4R в формуле для внутренних углов прямо связан с замкнутостью в том смысле, что вершины прилегающих

Рис. 149

друг к другу треугольников совпадают; но внутренняя связь меж­ду суммой углов самих треугольников и их замкнутостью не явля­ется столь отчетливой.

231

Теперь этот вопрос ясен: в этих точках на сторонах нет углов ?. Эти точки никак не связаны с изломом линии, ограничивающей фигуру, и с возвращением к ее началу, с замыканием многоугольника посредством вращения уг­лов ?.

6) А как обстоит дело с внутренними углами? Столк­нувшись теперь с этим вопросом, я снова не представлял себе, как можно на него ответить. И снова сначала воз­никла смутная идея: вокруг точки и фигуры имеется пол­ный угол 360°. Внутри фигуры находится... «отверстие»! И скоро все стало ясно: должен быть полный отрицатель­ный угол 360°: внутри боковые углы перекрываются. Ве­личина этого перекрытия представляет собой отрицатель­ный угол вращения, минус ?. Когда эта фигура замыка­ется, сумма таких углов должна составить полный отри­цательный угол в 360°.

Рис. 151

Здесь читатель вправе задать вопрос, что же из всего этого следует. Та же самая формула, которая была из­вестна раньше, но она предстала теперь в новом свете: члены этой формулы приобрели прямое функциональное значение.

И такое понимание сразу же привело к озарению (ин­сайту): если боковые стороны и то или иное их число являются внешними, если существенным оказывается только вращение углов ?, то это относится к любой замк­нутой плоской кривой, к окружности, эллипсу, и т. д. ... (Я опускаю продолжение.)

7) Но проблема все еще не была окончательно реше­на. По мере того как она становилась ясной, возникало насущное требование: если такой ход рассуждения дей­ствительно имеет смысл, то тогда он должен иметь силу для любой замкнутой фигуры. Он должен быть справед­ливым для трехмерных многогранников, для четырехмер-

232

ных и n-мерных тел, вообще для всех замкнутых фигур... с необходимыми изменениями для неевклидового про­странства.

За шесть недель напряженной работы мне удалось по-настоящему понять трехмерные фигуры. (Годом поз­же я узнал, что один математик уже очень давно нашел формулу для многогранников, и все же я не хотел прой­ти мимо этого опыта, который привел меня к подлинному инсайту.) В течение этих недель проблема неизменно волновала меня, вызывала напряжение. Я изучал кон­кретные многогранники, например кубы, части кубов, некоторые пирамиды и т. д.; способы объединения телес­ных углов в полный телесный угол. За это время я зна­чительно развил в себе способность визуально представ­лять телесные углы и соединять их в воображении. Я не искал формулы методом проб и ошибок, не проверял гипотезы; я просто выяснял, что получится, если телес­ные углы воображаемого конкретного многогранника со­единятся в одной точке: например, как углы куба, све­денные в центр сферы, образуют полный телесный угол 1, какие суммы образуют другие углы других многогранни­ков - частей куба, пирамид, параллелепипедов и т. д.

Бывали очень драматические моменты, как, напри­мер, когда один из моих друзей сказал мне: «Перестань принимать это так близко к сердцу. Задача неразрешима, так как сумма углов пирамиды меняется при изменении ее высоты. Точнее, она является функцией высоты».

8) Но процесс мышления продолжал развиваться. После огромных усилий решение для трехмерных тел

1 Так же и в случае двух измерений угол при вершине квадрата является одной четвертью полного угла, причем все четыре угла делают его полным, или угол при вершине правильного шести­угольника составляет одну треть полного угла, три трети делают его полным.

Рис. 152

Вообще говоря, вводя понятие угла, следует рассматривать угол, как часть полного угла, или как часть вращения на полный угол (см. гл. 4. с. 162).

233

пришло ночью в полусонном состоянии. Хотя я не мог вспомнить, чтобы что-нибудь записывал, я утром обнару­жил на листе бумаги следующую формулу:

?e =? плоских углов +2 углов при вершинах+?? (= 1), где е обозначает внешний телесный угол. Возьмем плос­кость (а), согнем